Sucesiones

Sucesiones
Sucesión
Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales. Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).
Ejemplo:
an = 1/n
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4,...
Sucesión monótona creciente
Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural an = an).
Ejemplo:
an = 1/n es monótonadecreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Límite finito de una sucesión
Consideremos la sucesión an = 1/n.
a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1
A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0. Si representamos los términoscomo puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.
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Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.
Límite finito
lim an = a para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo,|an - a| < ε.
Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an-a|0 existe N natural / para todo n > N an > K.
Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quieredecir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.
Del mismo modo se define lim an = -inf para todo K N an < K.
Convergencia y divergencia
Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a(a).
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.
Lasucesión an = 1/n converge a 0.
La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.

Sucesiones equivalentes
Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando el límite de su cociente es 1.

Sucesión acotada
M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Unasucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.
Teorema
Toda sucesión monótona y acotada converge.

H) an monótona
    Existen m y M / m < an < M para todo n.
T) lim an = b
Demostración:
Queremos probar que existe N / para todo n > N |an - b| < ε.
Supongamos que an es creciente (si suponemos que es decreciente, la demostración es análoga).
an < M para todo n
Es decir que elconjunto de todos los términos de la sucesión S = {a1, a2, a3, ...} tiene extremo superior (la menor de las cotas superiores), llamémosle b.
Sea ε>0
b - ε no es cota superior de S pues es menor que el extremo superior
=> existe N / aN > b-ε.
an es creciente => para todo n > N an >= aN => an > b-ε => -(an - b) < ε (1)

b+ε también es cota superior de S
=> para todo n an < (b+ε) => => an - b < ε(2)

=> De 1) y 2) para todo n > N |an - b| < ε
Teorema
Toda sucesión convergente es acotada.

H) an convergente
T) an acotada
Demostración:
an es convergente, eso significa que tiene límite finito: lim an = a
=> (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe N / para todo n > N a-ε < an < a+ε
=> (por def. de sucesión acotada) an está acotada.
Nota: El recíproco no escierto. Que una sucesión esté acotada no implica que sea convergente.
Contraejemplo: an = (-1)n está acotada pero no es convergente.
-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...
Par de sucesiones monótonas convergentes
((an),(bn)) es un par de sucesiones monótonas convergentes si
a) an es creciente y bn decreciente.
b) Para todo n natural an 0 existe h natural / bh - ah < ε
[pic]
Ejemplo:
an =...