Sucesiones

Sucesiones

Definición
Sucesión
Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe an en lugar de f(n).
Ejemplo:
an = 1/n
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Definición
Sucesión monótona creciente
Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural an = an).Ejemplo:
an = 1/n es monótona decreciente.
a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = 1/4, ...

Límite finito de una sucesión
Consideremos la sucesión an = 1/n.
a1 = 1
a2 = 1/2 = 0.5
a3 = 1/3 ≈ 0.33
a4 = 1/4 = 0.25
a5 = 1/5 = 0.2
a6 = 1/6 ≈ 0.17
a7 = 1/7 ≈ 0.14
a8 = 1/8 ≈ 0.12
a9 = 1/9 ≈ 0.11
a10 = 1/10 = 0.1
A medida que aumenta n, los términos de la sucesión son cada vez más cercanos a 0.Si representamos los términos como puntos en una línea, esto significa que los puntos an se apiñan cada vez más cerca del punto 0 conforme n crece.

Se dice que an tiende a 0, o que tiene límite 0.
Se expresa simbólicamente por: lim an = 0 o bien, ocasionalmente, por la notación abreviada an -> 0.
Definición
Límite finito
lim an = a para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε< an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.
Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dichoentorno.
Límite infinito de una sucesión
Consideremos la sucesión an = n2.
a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000
Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito.
Definición
Límite infinito
lim an = +inf para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.
Para cualquier número positivoK (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.
Del mismo modo se define lim an = -inf para todo K N an < K.

Definición
Convergencia y divergencia
Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice quees convergente y converge a a.
Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.
Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.
La sucesión an = 1/n converge a 0.
La sucesión an = n2 es divergente.
La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.

Propiedades del límite finito de sucesiones
Unicidad del límite
Si una sucesión tiene límite esúnico.

H) lim an = b
T) b es único
Demostración:
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.
Suponemos que b > c.
lim an = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n1 natural / para todo n > n1 b - ε < an < b + ε;
lim an = c => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n2natural / para todo n > n2 c - ε < an < c + ε
Consideremos un ε tal que c+ε < b-ε, o sea ε < (b - c)/2

Sea N = max {n1,n2}
Para todo n > N se cumple
• b - ε < an < b + ε
• c - ε < an < c + ε
Absurdo, pues an no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Límite de la sucesión comprendida
Si una sucesión está comprendida entre otras dosque tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite.

H) lim an = lim bn = p
Para todo n > n0 an 0 existe n1 natural / para todo n > n1 p - ε1 < an < p + ε1
lim bn = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε2 > 0 existe n2 natural / para todo n > n2 p - ε2 < bn < p + ε2
Sea N = max {n0, n1, n2}
Para todo n > N se cumple p-ε1 < an (por def. de límite de una sucesión)...