SUCESIONES

Ejercicios de Análisis Matemático
Sucesiones numéricas
1. Dado " > 0, calcula m" 2 N tal que para todo n> m" se verifique jxn
vienen dados en cada caso por:

xj < " donde xn , x

p
p
2n C 3
2
3
; xD I
b/ xn D n C 1 3 n ; x D 0
3n 50
3


p
1 n
d/ xn D p
c/ xn D n a .a > 0/; x D 1I
; xD0
2

p
p
n
n C 1 n n ; x D 0I f / xn D n2 an .jaj < 1/; x D 0
e/ xn D n
a/ xn D

Sugerencia. Como consecuenciadel binomio de Newton, para x
x n D.1C.x 1//n >1Cn.x

1 > 0 se verifica que

1/:

Esta desigualdad, convenientemente usada, permite resolver con facilidad los casos b), c), d) y
e).
Solución. Como regla general, en este tipo de ejercicios hay que “trabajar hacia atrás”, esto es,
se calcula y simplifica jxn xj y se convierte la desigualdad jxn xj < " en otra equivalente a
ella de la forma n > '."/donde '."/ es un número
que depende de ". Basta entonces tomar m"
como la parte entera de '."/ más 1, m" D E '."/ C 1, con lo cual para todo n > m" se tiene
que n < '."/ y, por tanto, jxn xj < ".

Este procedimiento admite muchos atajos. Hay que tener en cuenta que no se pide calcular el m"
“óptimo”, es decir, el menor valor posible de m" tal que n>m" ÷jxn xj < ", sino que se pide
calcularcualquier valor de m" para el cual sea cierta dicha implicación. Para ello es suficiente
con obtener, a partir de la desigualdad jxn xj < ", otra desigualdad del tipo n > '."/ de forma
que se verifique la implicación n > '."/÷jxn xj < ".
En este procedimiento hay que quitar valores absolutos. Esto siempre puede hacerse porque la
desigualdad jxn xj < " equivale a las dos desigualdades " < x n x < ". Confrecuencia,
el número xn x es siempre positivo o siempre negativo para todo n > n0 , lo que permite quitar
directamente el valor absoluto y sustituirlo por la correspondiente desigualdad.
Por supuesto, en estos ejercicios hay que trabajar con un valor genérico de " > 0, es decir,
no está permitido considerar valores particulares de " porque se trata de probar que una cierta
desigualdad es válidapara todo " > 0.
La verdad es que se tarda más en escribir lo anterior que en hacer el ejercicio porque las sucesiones que se dan son muy sencillas y la sugerencia muy útil.
a) Tenemos que
jxn

ˇ
ˇ 2n C 3
xj D ˇˇ
3n 50

ˇ ˇ
ˇ
2 ˇˇ ˇˇ 109 ˇˇ
D
:
3 ˇ ˇ 9n 150 ˇ

El denominador es positivo para todo n > 17. Pongamos n D 17 C k donde k 2 N. Entonces
jxn

xj D

109
109
109
13
D
<
<
:
9n 150
3 C 9k
9kk

Deducimos que para que se tenga jxn xj < " es suficiente que tomar n D 17 C k donde k se
13
13
elige de forma que 13
k < ", es decir, k > " . Por tanto, poniendo m" D 18 C E. " / podemos
asegurar que para todo n > m" se verifica que jxn xj < ".

109
13
Observa que las acotaciones 3C9k
< 109
9k < k no son imprescindibles; de hecho, podemos
109
despejar k de la desigualdad 3C9k
< ", pero lasacotaciones hechas facilitan este paso (aunque
se obtiene un valor de k mayor).

Dpto. de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Ejercicios de Análisis Matemático

2

b) Tenemos que:
p
3
0D nC1

0 < xn
r
3

Pongamos zn D

1C

1
n

Deducimos que:
xn D

La desigualdad


1
E 27"
3 .

Observa que la acotación
en la desigualdad
valor mayor para n).

!

1
1C
n

1 :

p
1 1
1 1
3
n zn 6 p
:
6 p
3
3 n2 33 n

< " se verifica para todo n >

1 1
p
3 3 n2

3

1
1
> 1 C 3zn ÷ zn 6
n
3n

1 1
p < " ÷ xn < " ÷ jxn
3 3n
1
1 p
3 3 n

r

1. Tenemos que zn > 0 y, usando la sugerencia dada:
.1 C zn /3 D 1 C

Por tanto:

p
p
3
nD 3 n

1 1
p
3 3 n2

6

1 p
1
3 3 n

0j D xn < "

1
.
27"3

Por tanto, es suficiente tomar m" D 1 C

no es imprescindible; de hecho, podemos despejar n

< ", pero la acotación anteriorfacilita este paso (aunque se obtiene un

c) Sea a > 1. Entonces 1 <

p
n
a. Pongamos zn D jxn

1j D

p
n
a

.1 C zn /n D a > 1 C nzn ÷ zn <

1 > 0. Tenemos que:

a

1
n

Deducimos que:
a

La desigualdad


E a"1 .

a 1
n

1

< " ÷ zn D jxn 1j < "
n
< " se verifica para todo n > a " 1 . Por tanto, es suficiente tomar m" D 1 C

Si 0 < a < 1, poniendo b D

1
a

y usando lo ya visto, tenemos que:...