Tangencies

Tangències i enllaços. Concepte i definició. Casos particulars. Aplicacions. Anomenem tangència la posició entre una recta i una circumferència o entre circumferències en la que aquests elements tenen en comú únicament un punt, el punt de tangència. (La paraula "tangent" deriva del participi de present llatí tangens, que significa "tocant".)

PROPIETATS FONAMENTALS DE LES TANGÈNCIES Quan unrecta és tangent a una circumferència el punt de tangència, T, es situa en la intersecció de la recta amb un radi perpendicular a ella.

Quan dues circumferències són tangents entre sí el punt de tangència (punt en comú entre ambdues) es situa sobre la recta que uneix ambdós centres O i O’.

Donades dues rectes tangents a una circumferència des d’un punt exterior, el centre de la circumferènciaha d’estar sobre la bisectriu de l’angle que formen les dues rectes. Per trobar les rectes tangents a una circumferència des d’un punt exterior s’ha d’aplicar el concepte d’arc capaç de 90º.

Amb aquestes propietats es poden resoldre molts casos de tangència. Utilitzant els elements radicals i la inversió es poden resoldre casos més complexes.

POSICIONS DE TANGÈNCIA ENTRE RECTES ICIRCUMFERÈNCIES. CASOS PARTICULARS Exemples d’alguns casos que es resolen aplicant les condicions bàsiques de tangència.

MÈTODE DE LA REDUCCIÓ o dilatació positiva i negativa. Aquest mètode consisteix en convertir una de les circumferències de l’enunciat en un punt. La resta d’elements de l’enunciat s’han de convertir per dilatació negativa i positiva en les seves imatges. A partir d’aquí es resoll’exercici. Exemple en la resolució de l’exercici per trobar les rectes tangents exteriors i interiors a dues circumferències

Procediments:

Circumferència tangent a una altre circumferència i a una recta sabent que passa per un punt contingut en la recta. Resolució pel mètode de les dilatacions o de reducció de la circumferència a un punt. Hi ha dues solucions.

POTÈNCIA D’UN PUNT RESPECTE A UNACIRCUMFERÈNCIA Es verifica que per un punt P que no pertany a la circumferència i les possibles secants a la circumferència el producte de la distància de PA xPB és constant. El valor d’aquesta constant s’anomena potència d’un punt respecte d’una circumferència. PA·PB=PC·PD=PT2

B A P C

T

D

EIX RADICAL D’UNA CIRCUMFERÈNCIA L’eix radical de dues circumferències és el lloc geomètric delspunts del pla que tenen igual potència respecte a dues circumferències no concèntriques. Tots els punts de l’eix radical compleixen aquesta propietat. Aquest eix sempre serà perpendicular a la recta que uneix els centres d’ambdues circumferències.
FONT: http://www.xtec.net/~lrocher/teoria_2batx/geometriaplanabatx2.pdf

Per dibuixar l’eix radical de dues circumferències cal tenir en compte laseva posició relativa

Eix radical de circumferències secants o tangents. Circumferències exteriors de diferent radi. Cal traçar una circumferència auxiliar que talli a les dues donades per buscar els eixos radicals d’aquesta amb cadascuna de les dades. El punt d’intersecció dels dos eixos auxiliars servirà per fer passar l’eix solució que a més serà perpendicular a la recta que uneix els centresde les donades.

Cas particular de circumferències interiors. Es resolt com l’anterior.

CIRCUMFERÈNCIA COAXIALS Les circumferències coaxials són les que tenen un eix radical comú. Els seus centres han d’estar sobre una mateixa recta perpendicular a aquest eix radical, anomenada recta de centres. Per tant, es complirà el següent: si des d’un punt qualsevol de l’eix radical, P, es traça unarecta tangent a qualsevol circumferència, la distància de P al punt de tangència – TP - serà la mateixa per a totes les circumferències. Aplicació en tangències: Segons aquesta propietat, es podrà dibuixar una circumferència coaxial amb les circumferències solució, que encara no es coneixen, per tal de conèixer la distància TP, d’un punt de tangència a un punt de l’eix radical.

CENTRE...