Tarea 7 matematicas ii para ingenieria

1. Plantea la integral que se requiere para calcular la masa de un alambre de densidad constante [pic] [pic]y de sección transversal [pic][pic] suponiendo que la forma del alambre es la función[pic] y que se encuentra ubicado en el intervalo [pic].

Solución:

Ya que masa es densidad por volumen [pic] y la densidad del alambre es constante, el problema se resuelve calculando elvolumen del alambre. Para determinar el volumen del alambre tomamos un trozo infinitamente pequeño del alambre de longitud [pic] y ya que la sección transversal del alambre es [pic] entonces:[pic]
O bien:

[pic]

De aquí podemos ver que el volumen del alambre se obtiene con la ecuación:

[pic]

Y finalmente la masa del alambre es:

[pic]

O bien ya que ladensidad es constante:

[pic]

Podemos observar que el término [pic] es la masa del trozo infinitamente pequeño de longitud [pic], luego lo anterior también puede escribirse como:[pic] donde [pic]

Y esta es la integral que calcula la masa del alambre.

2. Usando el resultado del problema anterior calcula la masa de un alambre de densidad constante [pic][pic], de sección transversal [pic][pic] y suponiendo que la forma del alambre se describe con la función [pic] en el intervalo [pic].

Solución:

Ya que [pic] y considerando la fórmuladeducida en el problema anterior tenemos que:

[pic]

O bien:

[pic]

Calculamos la antiderivada:

[pic]

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]Finalmente:

[pic] gramos

La masa del alambre es 10.90 gramos.

3. Se desea fabricar una pieza mecánica que debe de tener la siguiente forma:

a) Plantea, especificando los límites,una integral que representa el volumen de la pieza.
b) Calcula el volumen de la pieza.

Solución:

La base del sólido es medio círculo de radio 2 si ubicamos este círculo en el origen...