Teorema del límite central

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Universidad Pedagógica Nacional (U.P.N.”F.M.”) |
Trabajo de Investigación: Teorema Del Límite Central |
MAB 345-Tópicos en Matemáticas, Física o Computación. II Trimestre 2010 |
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Grupo No. 7 | Registro |
Norma E. Guillén R. | 812491 |
Olbin Marlon Aguilar | 0811-1980-00088 |
Walter Perdomo | 0801-1982-16687 |
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Catedrático: Dr. Adalid Gutiérrez |

Tabla decontenido

Introducción 3
Breve reseña histórica 4
Contribución de Abraham De Moivre 6
Contribución de Pierre Simón de Laplace 8
Contribución de Pierre Simeón Denis Poisson 10
Contribución de Dirichlet, Friedrich Bessel 11
Contribución de Lois Cauchy 12
Contribución de los probabilísticos rusos 14
Aplicaciones 19
 Aproximación normal a la binomial. 22
 Movimientobrowniano. 23
 Tamaño de las piedras. 23
 La actualidad. 23
Bibliografía 24

Introducción

El Teorema de Límite Central es uno de los fundamentales en estadísticas y estudia el comportamiento de la suma de variables aleatorias, cuando crece el número de sumandos, asegurando su convergencia hacia una distribución normal en condiciones muy generales. Este teorema, se ha ido desarrollando alo largo de la historia, tiene una gran aplicación en inferencia estadística, pues muchos parámetros de diferentes distribuciones de probabilidad (como la media, momentos, coeficiente de correlación, proporción) pueden expresarse en función de una suma de variables. Permite también aproximar muchas distribuciones de uso frecuente: binomial, Poisson, chi cuadrado, t-student, gamma, etc…, cuando susparámetros crecen y el cálculo se hace difícil. Por otro lado, la suma de variables aleatorias aparece en forma natural en muchas aplicaciones de procesos de simulación de la ingeniería: determinación de masa forestal, carga soportada por la estructura, tiempo de espera de servicio, etc.
Todo ello hace explicar porqué muchos métodos estadísticos requieren la condición de normalidad para sucorrecta aplicación y, en consecuencia, este teorema es de una componente importante de la formación estadística.
En este trabajo de investigación haremos un recorrido mediante una breve reseña histórica de las fechas más importantes y los personajes que estuvieron involucrados en el desarrollo de este fundamental teorema, también haremos una demostración del teorema y sus aplicaciones.
Brevereseña histórica
La Teoría de la Probabilidad surgió en el siglo XVII en Francia, cuando los reconocidos matemáticos Pierre de Fermat y Blaise Pascal comenzaron a interesarse en los juegos de azar, a raíz de lo cual muchos matemáticos de la época empezaron a introducirse en el tema, entre ellos Abraham De Moivre, Chistiaan Huygens y Jacob Bernoulli. Así fue como se fundó definitivamente lo que hoy seconoce como Teoría de la Probabilidad.
Como en toda área de la matemática, era necesario establecer una estructura adecuada para la Investigación de esas “experiencias aleatorias”. Para tal fin se crearon las llamadas variables aleatorias, objetos fundamentales dentro de la Teoría de la Probabilidad. Estas representan resultados numéricos obtenidos a partir de la realización de un experimento; ymatemáticamente se modelizan como una función a valores reales definida sobre el conjunto de posibles resultados del experimento (espacio muestral). Mientras se fue avanzando en el estudio de estos sucesos azarosos, resulto cada vez más frecuente la necesidad de relacionar muchas variables para poder analizarlos. Surgió naturalmente de esta manera el problema de estudiar la distribución de la sumade una infinidad de variables aleatorias.
Los dos resultados fundamentales vinculados a este problema son la Ley de los Grandes Números y el Teorema de Límite Central.
Este último establece que la distribución de la suma de una gran cantidad de variables aleatorias independientes, bajo ciertas condiciones adicionales, se aproxima a una distribución Normal. Más adelante estableceremos cuales...