Teorema del limite central

Teorema del límite central
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El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales,si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces la función de distribución de Sn se aproxima bien a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss ocampana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que esto ocurre cuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.[1] [2]
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Definición
Sea lafunción de densidad de la distribución normal definida como[1]

con una media µ y una varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es , a la distribución se le conoce como normal estándar.
Sedefine Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamente distribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2,dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil la comprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nuevavariable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Zn convergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, siΦ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

donde Pr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.
[editar] Enunciado formal
De manera formal, normalizaday compacta el enunciado del teorema es:[3]
Teorema del límite central: Sea X1, X2, ..., Xn un conjunto de variables aleatorias, independientes e idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ2distinta de 0. SeaEntonces. |
Es muy común encontrarlo con la variable estandarizada Zn en función de la media muestral ,

puesto que son equivalentes, así como encontrarlo en versiones no...