Teorema limite central

Teorema del límite central
El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes, entonces lafunción de distribución de Sn se aproxima bien a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana, curva de Gauss o campana de Gauss). Así pues, el teorema asegura que ésto ocurrecuando la suma de estas variables aleatorias e independientes es lo suficientemente grande.[1] [2
Definición
Sea la función de densidad de la distribución normal definida como[1]

con una media µ yuna varianza σ2. El caso en el que su función de densidad es , a la distribución se le conoce como normal estándar.
Se define Sn como la suma de n variables aleatorias, independientes, idénticamentedistribuidas, y con una media µ y varianza σ2 finitas (σ2≠0):

de manera que, la media de Sn es n·µ y la varianza n·σ2, dado que son variables aleatorias independientes. Con tal de hacer más fácil lacomprensión del teorema y su posterior uso, se hace una estandarización de Sn como

para que la media de la nueva variable sea igual a 0 y la desviación estándar sea igual a 1. Así, las variables Znconvergerán en distribución a la distribución normal estándar N(0,1), cuando n tienda a infinito. Como consecuencia, si Φ(z) es la función de distribución de N(0,1), para cada número real z:

DondePr( ) indica probabilidad y lim se refiere a límite matemático.
Propiedades
* El teorema del límite central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande.
* Existendiferentes versiones del teorema, en función de las condiciones utilizadas para asegurar la convergencia. Una de las más simples establece que es suficiente que las variables que se suman seanindependientes, idénticamente distribuidas, con valor esperado y varianza finitas.
* La aproximación entre las dos distribuciones es, en general, mayor en el centro de las mismas que en sus extremos o...