Test heterocedasticidad

Test para medir grado de heterocedasticidad

Luis Ignacio Henríquez Cid
Rol 2660021-9
05/10/2010

El contraste de White.
Para simplificar la exposición, vamos a describir el contraste en una ecuación de regresión con término constante y dos variables explicativas. La extensión del contraste al modelo lineal general es trivial.
Consideramos pues el modelo
yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui,i = 1, . . . , n
Y deseamos contrastar las hipótesis
H0: E (ui2) =σu2 (Homocedasticidad)
H1: E (ui2) = σi2 (Heterocedasticidad)
Los pasos para realizar el contraste son los siguientes
1. Estimar por mínimos cuadrados ordinarios la ecuación de regresión de interés
yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui, i = 1, . . . , n
Y obtener los residuos ûi.
2. Estimar por mínimos cuadrados ordinarios laecuación de regresión auxiliar
ûi2 = α1 + α2X2i + α3X3i + α4X22i + α5X23i + α6X2iX3i + ei
y calcular el coeficiente de determinación R2.

3. Calcular el estadístico de contraste nR2, que sigue asintóticamente una distribución Chi-cuadrado con p − 1 grados de libertad, donde p es el número de parámetros de la regresión auxiliar.

4. La hipótesis H0 se rechaza al nivel de significación α, si nR2> c, donde c es el valor crítico para el cual Prob(χp2−1 > c) = α.
Suele decirse que el test de White es general porque no necesitamos conocer las variables que causan la Heterocedasticidad. Sin embargo, de la ecuación de regresión auxiliar vemos que la forma de Heterocedasticidad implícita es
σi2 = α1 + α2X2i + α3X3i + α4X22i + α5X23i + α6X2iX3i
Y las hipótesis a contrastar son
H0:α2 = ·· · = αp = 0
H1: αi ≠ 0 para algún i = 2, . . . , p
Bajo H0, la varianza del error es constante σi2 = α1; bajo H1, hay Heterocedasticidad del tipo
σi2 = α1 + α2X2i + α3X3i + α4X22i + α5X23i + α6X2iX3i
La regresión auxiliar incluye como variables explicativas todas las variables explicativas del modelo de interés, sus cuadrados y los productos cruzados, siempre que tales variables no seanredundantes, es decir, no aparezcan ya en la ecuación de regresión. Por ejemplo, si X2i es una variable ficticia tomando los valores 0 y 1, entonces X2i2 = X2i y se dice que X2i2 es redundante.
En resumen, algunas ventajas del test de White son:
1. es un test general,
2. es un test constructivo, nos sugiere una forma de heterocedasticidad si se rechaza H0,
3. es muy simple de aplicar.
Y comoinconvenientes:
1. La ecuación de regresión auxiliar puede incluir muchas variables explicativas, k(k+1)/2.
2. la ecuación de regresión auxiliar no está exenta de los errores de especificación de cualquier regresión,
3. es un contraste asintótico, válido para muestras muy grandes.

Contraste de Goldfeld-Quandt.
El contraste de Goldfeld-Quandt (1965) se aplica cuando sospechamos que la varianzadel error aumenta con los valores de una variable conocida Z
σ2i = σ2u Zi
El problema a contrastar lo podemos formular como
H0 : σ2i = σ2u (homocedasticidad)
H1 : σ2i = σ2u Zi para algún i = 2, . . . , p (heterocedasticidad)
Los pasos del contraste de Goldfeld-Quandt son los siguientes:
1. Identificar la variable que causa la heterocedasticidad, digamos Z.
2. Ordenar la tabla de datossegún los valores crecientes de Z.
3. Dividir la tabla de datos en tres submuestras. La submuestra central con m observaciones, y las otras dos submuestras con (n − m)/2 observaciones.
4. Omitir las observaciones centrales, y estimar por mínimos cuadrados ordinarios la ecuación de regresión en cada submuestra.
5. Calcular la suma de cuadrados de los residuos en cada submuestra: SCR1 y SCR2. Si H1 escierta, entonces SCR2 > SCR1.
6. Calcular el estadístico de contraste
F = SCR2/SCR1
que sigue una distribución F con (n−m)/2 grados de libertad en el numerador y denominador.
7. La hipótesis H0 se rechaza al nivel de significación α, si F > c, donde c es el valor crítico para el cual Prob(F(n−m)/2,(n−m)/2 > c) = α
La elección del número de observaciones a omitir, m, juega un...