Todo

Graficar: t(x)= 3x3x2-12
1) Dominio:
Dom (t): {X∈R /3x3x2-12 ∈R }
:{X∈ R / 3x2-12 ≠0}
:{X∈ R / 3x2≠ 12}
:{X∈R / x2 ≠4}
:{X∈R / x≠2 ˄ x ≠-2 }
Dom (t)= R- {2, -2}

2) Puntos criticos
t´(x) = 3x3x2-12´
t´(x) = (3x)´(3x2-12) – 3x (3x2-12)´ (3x2-12)2
t´(x) = 3 3x2-12-3x (6x)(3x2-12)2
t´(x) = 9x2-36-18x2 (3x2-12)2t´(x) = -9x2-36 (3x2-12)2
t ´(x) = o ⟺ -9x2-36 = 0
⟺ -9x2 = 36
⟺x2 = -4
t ´(x) ≠ 0 ∀X∈R
por otro lado t ´(x) no existe ⟺ 3x2-12= 0⟺ 3x2= 12
⟺ x2= 4
⟺ x =2 ˄ x =-2

Pero x =2 y x =-2 no están en el dominio de t, en consecuencia tno tiene puntos criticos.
3) Intervalos de Monotonia:

(-∞, -2) | (-2, 2) | (2, +∞) |
V.P | -5 | 0 | 5 |
-9x2-36 | - | - | - |
(3x2-12)2 | + | + | + |
t ´ | - | - | - |
t | ↘ | ↘| ↘ |

* t es decreciente en: (-∞, -2) ; (-2, 2) y (2, +∞)
* t no es creciente en ningún intervalo de R

4) Maximo y Minimo:
t no tiene ni máximo ni minimo relativos ya que noexisten puntos criticos donde la función cambie su monotonía.
5) Intervalo de concavidad:

t´(x) =-9x2-36 (3x2-12)2 ′
t´(x) = -9x2-36´ (3x2-12)2--9x2-36 (3x2-12)2´(3x2-12)4
t´(x) =-18x3x2-122-2-9x2-363x2-12 6x (3x2-12)4

t´(x) = -18x3x2-122-12x-9x2-36 3x2-123

luego, t’’ (x)= 0 ⇔ -18x3x2-122-12x-9x2-36=0
⇔ x (-54x2 + 216 +108x2 +432)=0
⇔ x(54x2 + 648)= 0
⇔ x= 0
X= 0 es un valor critico de segundo orden.
Por otro lado, t’’ no existe⟺ 3x2-12= 0
⟺ 3x2= 12
⟺ x2= 4
⟺ x =2 ˄ x =-2
Pero x =2 y x =-2...