Transformada de laplace

Tema 10. Transformada de Laplace
Prof. William La Cruz Bastidas 2 de julio de 2002

Tema 10

Transformada de Laplace
10.1 Transformada de Laplace

En esta secci´n introducimos la transformada de Laplace de una se˜ al continua. Se pueden o n distinguir dos tipos de transformadas de Laplace: Bilateral y Unilateral. Definici´n 10.1 (Transformada de Laplace Bilateral) Se define latransformada de Lao place Bilateral de una se˜al continua x(t) como n
∞

X(s) =
−∞

x(t)e−st dt,

(10.1)

donde s es una variable compleja. En s´, la transformada de Laplace bilateral de una se˜al ı n continua es una funci´n anal´tica en cierto dominio, que se denomina regi´n de convergencia. o ı o Definici´n 10.2 (Transformada de Laplace Unilateral) Sea x(t) una se˜al continua. Se o n define laTransformada de Laplace Unilateral de x(t) como
∞

X (s) =
0

x(t)e−st dt,

(10.2)

donde s es una variable compleja. En s´, la transformada de Laplace unilateral de una se˜al ı n continua es una funci´n anal´tica en cierto dominio, que se denomina regi´n de convergencia. o ı o En adelante para referirnos a la transformada de Laplace bilateral diremos, simplemente, transformada de Laplace.Cuando queramos resaltar si se est´ utilizando la transformada de a Laplace bilateral o unilateral, lo indicaremos. Por otra parte, veamos c´mo se determina la regi´n de convergencia de la transformada de o o Laplace de una se˜ al continua x(t), la cual la denotaremos como ROC. Si tomamos s = σ + jω, n entonces (10.1) adquiere la forma
∞

X(s) =
−∞

(x(t)e−σt )e−jωt dt,

lo cual indicaque la transformada de Laplace de x(t) converge si, y s´lo si la funci´n x(t)e −σt es o o absolutamente integrable; en otras palabras,
∞

|x(t)| e−σt dt < ∞.
−∞

1

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2

El factor e−σt es un factor de convergencia. Equivalentemente, X(s) existe si, y s´lo si la transo formada de Fourier de x(t)e−σt existe. Esto establece una estrecha relaci´n entre latransformada o de Laplace y la transformada de Fourier, en realidad, la transformada de Fourier es un caso particular de la transformada de Laplace, lo cual se corrovora simplemente tomando s = jω en (10.1). En el siguiente ejemplo se ilustra el concepto de regi´n de convergencia de la transformada o de Laplace. Ejemplo 10.1 Hallar la transformada de Laplace de x(t) = e −at u(t) con a > 0.Soluci´n. Se tiene que o
∞

X(s) =
−∞ ∞

x(t)e−st dt e−at u(t)e−st dt
−∞ ∞

= =
−∞ ∞

e−at u(t)e−σt e−jωt dt e−(a+σ)t e−jωt dt
0 ∞

= =
0 ∞

e−(a+σ)t (cos ωt − jsen ωt) dt
∞

=
0

e−(a+σ)t cos ωt dt − j
0

e−(a+σ)t sen ωt dt

(a + σ) ω −j 2 + ω2 (a + σ) (a + σ)2 + ω 2 (a + σ) − jω = (a + σ)2 + ω 2 1 1 = = , (a + σ) + jω s+a = con ROC: σ > −a, dado que
∞ ∞

e−at u(t)e−σt dt=
−∞ 0

e−(a+σ)t dt < 0

para σ + a > 0. Por lo tanto, X(s) =

1 con ROC: Re s > −a. s+a

Definici´n 10.3 (Transformada inversa de Laplace) Sea x(t) una se˜al cuya transformada o n de Laplace es X(s) con regi´n de convergencia ROC. La transformada inversa de Laplace es el o proceso de obtener x(t) a trav´s de X(s) y se define como e x(t) = 1 2πj
σ+j∞ σ−j∞

X(s)est ds,

(10.3)

esdecir, la transformada inversa de Laplace es una integral de una funci´n de variable compleja o a lo largo del contorno y = jσ de manera que X(s) converja.

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El c´lculo de la transformada inversa de Laplace requiere integraci´n sobre contornos en el a o plano complejo. Sin embargo, para la clase de transformadas racionales, la transformada inversa deLaplace se puede determinar sin evaluaci´n directa de la integral (10.3), utilizando la expansi´n o o por fracciones parciales de X(s) que la estudiaremos en la secci´n 10.4. El siguiente ejemplo o muestra el proceso de c´lculo de la transformada inversa de Laplace a trav´s de la integraci´n a e o compleja. Ejemplo 10.2 Determine la transformada inversa de Laplace de X(s) = 1 , s+1 ROC: Re s > −1....