Triangulo de pascal. diagonales y analogias.

Se considera la suma de los seis primeros números de la diagonal del triángulo de Pascal siguiente: 1+4+10+20+35+56 = 126. Localizar la suma en el triángulo de Pascal, buscar sumas análogas, generalizar, demostrar de varias maneras. A partir de este problema las tareas que se pedían eran las siguientes: 1) Resolverlo, usando para ello algún procedimiento heurístico. Lo primero que necesitamosaveriguar para resolver el problema es como se construye el triángulo de Pascal. El triángulo se construye desde la cúspide hacia abajo. El primer elemento es el número 1, formando la fila 0. La fila 1 está formada por dos elementos, ambos también el número 1. A partir de aquí, la construcción es como sigue: cada fila está formada por un elemento más que la anterior. El elemento primero y último decada una siempre será el número 1, y cada elemento interior será el número resultado de sumar los dos elementos que se sitúan encima de él y adyacentes en la fila superior. De esta manera el triangulo queda como sigue:

Y así sucesivamente podríamos ir añadiendo escalones al triangulo de Pascal. A partir del triangulo de Pascal podemos sacar la tabla anterior. Si cogemos el triangulo de Pascal ylo representamos en una tabla se obtiene una mejor visualización del triangulo lo que nos permitirá una mejor resolución del problema como se verá más adelante. Los elementos que forman cada fila o cada columna siempre será el número de fila o columna que sea más 1, pues recuérdese que hemos empezando por la fila cero con una unidad. Lo mismo para las columnas.

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 210 330 495 1 6 21 56 126 252 462 792 1 7 28 84 210 462 924 1716 1 8 36 120 330 792 1 9 45 165 495 1 10 55 220 715 1 11 66 286 1 12 78 364 1 13 91 1 14 1 15 1

1 10

45 120 55 165 66 22078 286

715 1287

1716 1287

91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001

15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105

Lo primero que nos pide el problema es que localicemos la suma 1+4+10+20+35+56 = 126 en el triángulo de Pascal. Lo cual no requiere mayor esfuerzo que el de la visualización. En los siguientes triángulos aparece la suma que nos pide sumando los números queestán dentro de cada polígono en forma de palo de golf.

El siguiente punto del problema nos pide que busquemos sumas análogas. Siguiendo con la observación visual del triángulo vemos que aparecen dos nuevos palos de golf donde los números interiores suman 126. Estos números son: 1+5+15+35+56 = 126.

Aunque dentro del mismo triangulo aparezcan dos posibles sumas análogas, en realidad losnúmeros son los mismos. El motivo por el cual aparecen dos “palos de golf” (por así decirse), cuya suma de los números interiores es igual, es porque el triángulo de Pascal presenta una simetría en torno a su eje central, es decir, se tiene los mismo números en la mitad izquierda que en la mitad derecha.

A partir de las dos sumas análogas que hemos encontrado para 126, observamos que cualquierdiagonal que empiece en un extremo del triángulo, y de la longitud que sea, cumple la siguiente propiedad: La suma de todos los números que la integran se encuentran justo debajo del último de ellos, en la diagonal contraria.
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15 35 70 126 1 6 21 56 126 1 7 28 84 1 8 36 1 9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Deesta manera acabamos de generalizar el resultado de la suma de la diagonal. Veamos por ejemplo 84, que se encuentra en la fila 9, columnas 3 y 6. Así pues, siguiendo con nuestro procedimiento vemos que la suma de 1+3+6+10+15+21+28 = 84, y que 1+6+21+56 = 84. Ambas suman 84. Gráficamente:
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 6 10 15 21 28 36 1 4 10 20 35 56 84 1 5 15...