Triangulo de pascal
Páginas: 5 (1006 palabras)
Publicado: 21 de marzo de 2010
TRIANGULO DE PASCAL´
El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar elbinomio de Newton.
También es conocido como Triángulode Tartaglia. En países orientales como China, India o Persia, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Jayyam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió el año 1303.1
[pic]
El Triángulo se construye dela siguiente manera: escribimos el número «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las doscifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:
[pic]
[pic]
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio: [pic]
BINOMIO DE NEWTON
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes,considerando una serie infinita:
(3)[pic]
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
[pic]
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
[pic]
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Calcular Binomio
Para calcular un Binomio de Newton estilo [pic] podemos hacer de forma sencilla:[pic]
FACTORIZACION
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b²se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
FACTOR CUMUN
Caso I - Factor común [editar]
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con elmenor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio [editar]
Factor común por agrupación de términos
[pic]
[pic]si y solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio [editar]
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Setoma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
[pic]
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
[pic]
La respuesta es:
[pic]
En...
El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar elbinomio de Newton.
También es conocido como Triángulode Tartaglia. En países orientales como China, India o Persia, este triángulo se conocía y fue estudiado por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Jayyam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió el año 1303.1
[pic]
El Triángulo se construye dela siguiente manera: escribimos el número «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las doscifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:
[pic]
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pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio: [pic]
BINOMIO DE NEWTON
Isaac Newton generalizó la fórmula para tomar otros exponentes,considerando una serie infinita:
(3)[pic]
Donde r puede ser cualquier número complejo (en particular, r puede ser cualquier número real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes están dados por:
[pic]
(el k = 0 es un producto vacío y por lo tanto, igual a 1; en el caso de k = 1 es igual a r, ya que los otros factores (r − 1), etc., no aparecen en ese caso).Una forma útil pero no obvia para la potencia recíproca:
[pic]
La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los números reales o complejos x e y sean suficientemente cercanos, en el sentido de que el valor absoluto | x/y | sea menor a uno.
Calcular Binomio
Para calcular un Binomio de Newton estilo [pic] podemos hacer de forma sencilla:[pic]
FACTORIZACION
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b²se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
FACTOR CUMUN
Caso I - Factor común [editar]
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con elmenor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio [editar]
Factor común por agrupación de términos
[pic]
[pic]si y solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio [editar]
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Setoma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
[pic]
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
[pic]
La respuesta es:
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En...
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