Triangulo De Pascal

Proyecto ESTALMAT – Palencia

“El Triángulo de Pascal”

EL TRIÁNGULO DE PASCAL.
PROPIEDADES ARITMÉTICAS Y OTRAS SORPRESAS.
Vamos a empezar planteando y resolviendo unos problemas que, en principio
puede parecer no tienen nada en común pero... luego veremos.

PROBLEMA 1:
Una hormiga se mueve sobre una cuadrícula pero sólo puede hacerlo yendo
hacia la derecha o hacia arriba (nunca puedecaminar en dirección hacia abajo ni
hacia la izquierda). Quiere ir desde un punto A en el que ahora se encuentra hasta otro
punto B, donde está su hormiguero. Se trata de contar por cuántos caminos diferentes
puede ir.
1.a.- Vamos a resolverlo empezando por una cuadrícula muy sencilla:
B

¿Por cuántos caminos se puede ir de A hasta B si
sólo puede moverse hacia arriba y hacia la
derecha?No te resultará difícil decir cuáles son esos
caminos

A

1.b.- Ahora la cuadrícula es un poco más compleja:
B
¿Por cuántos caminos se puede ir de A hasta B si
sólo puede moverse hacia arriba y hacia la
derecha?
Puedes ir dibujándolos, pero... ¡no te dejes
ninguno!
A

1.c.- ¿Y si la cuadrícula por la que debe andar la hormiga tiene la siguiente forma?
B

A
Ahora debes ircontando los caminos con mucho más cuidado. Te proponemos
una idea que quizá te resulte útil para no dejarte ningún camino.

Mª Dolores Arce Bernardo
José Antonio Zapata Abad

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Fíjate en la cuadrícula de abajo. Como verás tiene la misma forma que la de
arriba pero hemos pintado en cada cruce de caminos un pequeño círculo. Setrata de que
pongas dentro de cada círculo de cuántas formas se puede llagar desde A hasta ese
cruce. Recuerda que la hormiga sólo puede caminar hacia arriba y hacia la derecha.
B

A

¿Has llegado a contar por cuántos caminos diferentes se puede ir desde A hasta B?
Escríbelos en el circulo que está junto a B
Seguro que empiezas a encontrar ciertas propiedades que cumplen los números quehas
escrito en los círculos. Escribe lo que se te ocurra y luego lo comentamos.

Mª Dolores Arce Bernardo
José Antonio Zapata Abad

Página 2

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“El Triángulo de Pascal”

1.d.- Y, por último, una cuadrícula más complicada. Podríamos llamarla una
“Cuadrícula 3x3”:
B

A

Utiliza los números que ya calculaste en el ejemplo anterior, échale un poco deimaginación y calcula de cuántas formas puede la hormiga ir desde A hasta B.

Mª Dolores Arce Bernardo
José Antonio Zapata Abad

Página 3

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“El Triángulo de Pascal”

PROBLEMA 2:
El abuelo tiene en su cartera una moneda de 1 euro, otra de 2 euros, un billete de
5 euros, otro de 10 euros, otro de 20 euros, uno de 100 euros, otro de 200 euros y uno de
500 euros.Va a darle a su nieto la propina y elige, al azar, dos monedas o billetes.
Se trata de que averigües cuántas cantidades de dinero puede recibir el nieto.
Aquí no te damos ninguna pista más. Simplemente debes ser ordenado y no te
olvides ninguna posibilidad. Al final te será fácil averiguar el número de posibilidades.

Mª Dolores Arce Bernardo
José Antonio Zapata Abad

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“El Triángulo de Pascal”

Otra forma de resolverlo:
Ahora vamos a indicarte otro procedimiento que quizá no te convenza al
principio pero que puede que luego nos sirva para otros ejemplos.
En la tabla de abajo hemos colocado, en las filas y en las columnas las diferentes
monedas o billetes. Debes escribir en cada casilla la cantidad de dinero que recibiría el
nieto.1€

2€

5€

10 €

20 €

100 €

200 €

500 €

1€

2€

5€

10 €

20 €

100 €

200 €

500 €

Puede que te hayas dado cuenta de algo:
¿Puede el nieto recibir 1 € + 1 € = 2 euros? ¿Por qué no?

¿Hay algún caso que no se pueda dar? Convendría tachar esos casos.

¿Cuántas veces aparece en la tabla cada cantidad? ¿Esto se cumple siempre?

Mª Dolores Arce...