Trigonometria

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Trigonometría
1 | | INTRODUCCIÓN |

Cálculo de la altura de un edificio
Para hallar la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de observación a la base del edificio, D, y el ángulo θ (theta) que se muestra en el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la tangente de θ (H/D = tg θ). Para calcular H se multiplica la tangente de θ por ladistancia D (H = D tg θ). El ángulo se puede medir con cierta exactitud utilizando un transportador de ángulos y una plomada (hecha con un lápiz que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.
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Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que nopodía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
2| | TRIGONOMETRÍA PLANA |
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.
2.1 | | Razones trigonométricas de ángulos agudos |
La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionaroperativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.
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En un ángulo α de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de α, y se escribe sen α, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
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Análogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente (tg) comoel cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
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Hace no muchos años existían tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones trigonométricas de una gran cantidad de ángulos. En la actualidad, con una calculadora científica se obtienen con toda precisión los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo cumplenlas siguientes propiedades:

Aunque el ángulo α pertenezca a otro triángulo rectángulo de lados distintos al anterior, los valores obtenidos para sen α, cos α y tg α son los mismos. Es decir, las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo sobre el que se midan. Esto es debido a que dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo son semejantes y, por tanto, loscocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos.

Las razones trigonométricas sen y cos de un mismo ángulo guardan la siguiente relación fundamental:

(sen α)2 + (cos α)2 = 1

En vez de (sen α)2 se acostumbra a escribir sen2 α, y lo mismo con las demás razones trigonométricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar así:

sen2 α + cos2 α = 1

Las razones sen α, cos α y tg α se relacionanentre sí del siguiente modo:
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2.2 | | Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera |
Para definir las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (de 0º a 360º) se empieza situando el ángulo en la llamada circunferencia goniométrica, una circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados:
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El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de...
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