Unidad 5.2 mate 4

5.2.- Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación).

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo enotro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones quepreserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan lascondiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Lastransformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Rotación
Sea 0 ≤ θ < 2π un ángulo medido en radianes. La Transformación de T : R2―› R2 que gira sobre un vector ū = (u1, u2) es un ángulo θ, para obtener un vector T (ū) = (v1, v2).
Usando las funciones trigonométricas, tenemos que:
v1 = ||T (ū)|| • cos (α + θ) = ||ū|| • (cos α cosθ - sen α sen θ)
v2 = ||T (ū)|| • sen (α + θ) = ||ū|| • (sen α cos θ + cos α sen θ)
Como u1 = ||ū|| = cos α y u2 = ||ū|| = sen α se obtiene:
v1 = u1 cos θ – u2 sen θ
v2 = u2 cos θ – u1 sen θPor lo tanto la Transformación T : R2 ―› R2 debe estar definida tal que:
T (u1, u2) = (u1 cos θ – u2 sen θ, u2 cos θ – u1 sen θ).
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo θ y eslineal, ya que:
T [(u1, u2) + γ(v1, v2)] = T (u1 + γv1, u2 + γv2)
= ((u1 + γv1) cos θ – (u2 + γv2) sen θ, (u2 + γv2) cos θ + (u1 + γv1) sen θ)
=(u1 cos θ - u2 sen θ, u2 cos θ + u1 sen θ)+(v1 cos θ- v2 sen θ, v2 cos θ + v1 sen θ)
= T (u1, u2) + γT (v1, v2)

Transformación de Reflexión:

La Transformación de T : R2 ―› R2 que a cada vector ū = (u1, u2) lo refleja sobre el eje x,...