Variable alaeatoria continua

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Variables aleatorias continuas
Ejemplo: Con el fin de realizar un control de calidad en una fábrica de baterías, se mide el tiempo de duración de baterías elegidas al azar y se define la v.a. X: tiempo de duración de una batería La v.a. X es esencialmente continua (“tiempo”), siendo su rango el intervalo real [0,∞). pero supongamos que medimos la duración de la batería en días, es decir“discretizamos” el rango de la v.a. y se convierte en No = N ∪ {0}. Por tratarse de una v.a. discreta, su función de probabilidad puntual puede representarse mediante un histograma con área total igual a 1. Si medimos la duración en horas, obtenemos un histograma con mayor número de intervalos de menor longitud cada uno, pero que sigue teniendo área total igual a 1. Si continuamos aumentando la precisiónde la medición (minutos, segundos, décimas de segundo, etc), obtenemos como límite de los histogramas una curva suave, y la probabilidad de que la duración de la batería se encuentre entre dos valores a y b ( a < b) estará dada por el área bajo la curva entre a y b.

Definición: Una v.a. X es continua si existe una función

f : ℜ → ℜ + = [0, ∞)
llamada función de densidad de la v.a. X talque

P( X ∈ A) = ∫ f ( x)dx
A

∀ A⊆ℜ

En particular, si A = [a, b ], entonces

51

P(a ≤ X ≤ b) = ∫ f ( x)dx
a

b

y P ( X = a ) = P (a ≤ X ≤ a ) = 0 ∀a ∈ ℜ. Propiedad: Para que una función f (x) sea una función de densidad, debe satisfacer

f ( x) ≥ 0 ∀ x ∈ ℜ
∞ −∞

∫ f ( x)dx = 1

Observación: Nota que f (x) no es una probabilidad, de hecho puede ser mayor que 1. Essimplemente el valor de una función en un punto. Ejemplo: Sea

 a x2 f ( x) =  0

si 1 ≤ x ≤ 3 en otro caso

Otra forma de expresar la densidad es f ( x) = a x I [1,3] ( x) , donde la función I se define como
2

1 I A ( x) =  0
a) Calcular el valor de la constante a .

si x ∈ A si x ∉ A

x3 f ( x)dx = 1 ⇔ ∫ a x dx = 1 ⇔ a ∫ x dx = 1 ⇔ a ∫ 3 1 1 −∞
2 2



3

3

3

=1⇔ a
126 3 =1⇔ a = . 3 26

b) Calcular P(X ≥ 2).

P( X ≥ 2) = ∫
2



3 2 3 x3 f ( x)dx = ∫ x dx = 26 26 3 2

3

3

=
2

27 − 8 19 = . 26 26

Definición: La función de distribución acumulada de una v.a. continua X con función de densidad f (x) se define para todo x ∈ ℜ , como

F ( x ) = P( X ≤ x ) =

−∞

∫ f (t )dt

x

52

Ejemplo: En el ejemplo anterior, obtengamosla función de distribución acumulada de la v.a. X. Si x < 1 , F ( x) = P( X ≤ x) =

−∞



x

f (t )dt = ∫ 0 dt = 0
−∞ x x

x

3 2 3 t3 t dt = Si 1 ≤ x ≤ 3 , F ( x) = ∫ f (t )dt = ∫ 26 26 3 1 −∞
Si x > 3, F ( x) = Resumiendo,

x

=
1

x3 −1 26

−∞

∫ f (t )dt = ∫ 26 t
1

x

3

3

2

dt =1

0  x3 −1 F ( x) =   26 1

si x < 1 si 1 ≤ x ≤ 3 si x > 3Observamos que se trata de una función continua, no decreciente que toma valores entre 0 y 1. Propiedades de la función de distribución acumulada: Sea X una v.a. continua, i) ∀x ∈ ℜ, F X ( x) ∈ [0,1]. ii) FX (x) es monótona no decreciente, es decir que si x1 < x 2 ⇒ FX ( x1 ) ≤ FX ( x 2 ). iii) FX (x) es continua en todo punto.

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iv) lim FX ( x) = 1
x →∞

y

x →-∞

lim FX ( x) = 0Observemos que las propiedades i), ii) y iv) ya las hemos demostrado en general al considerar las v.a. discretas. Respecto a la propiedad iii), en el caso discreto probamos que la función de distribución es continua a derecha en todo punto, mientras que en este caso es continua en todo punto. Proposición: Sean a y b tales que a ≤ b , entonces

P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a Dem: Resulta inmediatamente del hecho que, si X es continua, P ( X = x) = 0 Proposición: Si X es una v.a. continua con función de densidad f (x) y función de distribución acumulada F (x) , entonces en todo punto donde F (x) es derivable,

F ' ( x) =

∂F ( x) = f ( x) ∂x

Dem: Resulta del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, y de la definición de F (x) ....
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