Variable Compleja

Análisis Complejo
Dr. Hugo Rodríguez Cortés 1
1 Centro

de Investigación y de Estudios Avanzados del
Instituto Politécnico Nacional

Curso propedéutico

H. Rodríguez Cortés (CINVESTAV-IPN)

Análisis Complejo

JUN 2012

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Introducción

Aritmética de numeros complejos.
Numeros complejos en forma rectangular y polar.
Calculo diferencial para funciones complejas.
Ecuaciones diferencialesparciales de Cauchy-Riemann.
Integración de funciones complejas.
El teorema de la Integral de Cauchy.

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Numeros complejos
Un numero complejo z se define como
z = x + iy,

donde i =

√

−1

Geometricamente, un numero complejo es un punto en el plano complejo (o el diagrama de Argand) y puede considerarse como un vector
en elplano.
z = x + iy
|z|
θ = arg(z)

y = Im(z)

x = Re(z)
z¯ = x − iy
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De la figura anterior
x = r cos(θ),
r = |z| =

y = r sin(θ)

x 2 + y 2 = |z¯ | =

θ = arg(z) = arctan
arg(z) = Arg(z) + 2nπ,

√
z z¯

y
[rad]
x

n = 0, ±1, ±2, · · ·

Arg es el valor principal de arg(z) y satisface
−π < Arg(z) ≤ π
De la formula de Euler e iθ =cos(θ) + i sin(θ) para cualquier valor real
de θ, se puede escribir la forma polar de un numero complejo como
z = x + iy = r cos(θ) + ir sin(θ) = reiθ
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Formula de Euler
De la formula de Euler
eiθ = cos(θ) + i sin(θ),

e−iθ = cos(θ) − i sin(θ)

se tiene

eiθ − e−iθ
eiθ + e−iθ
, sin(θ) =
2
2i
La formula de Euler también esválida para numero complejos
cos(θ) =

eiz = cos(z) + i sin(z)
de donde se tienen las definiciones siguientes para funciones
trigonométricas complejas
cos(z) =

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eiz + e−iz
,
2

sin(z) =

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eiz − e−iz
2i
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Reglas algebraicas
Sean z1 = x1 + iy1 = r1 ∠θ1 , z2 = x2 + iy2 = r2 ∠θ2 . Entonces
Suma y resta
z1 ± z2 = (x1 + x2 ) ± i(y1 + y2)
Multiplicación
z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
División

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x1 x2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
z1
=
+i
2
2
z2
x1 + y2
x22 + y22

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Multiplicación y división con la forma polar
En algunas ocasiones es conveniente realizar la multiplicación y la división utilizadno la forma polar
z1 z2 = r1 r2 ∠(θ1 + θ2 ),

z1
r
= 1 ∠(θ1 −θ2 )
z2
r2

Las operaciones de adición y multiplicación pueden interpretarse geometricamente.
Claramente, |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Esta desigualdad se conoce como
la desigualdad del triangulo y puede extenderse a
|z1 + z1 + · · · + zn | ≤ |z1 | + |z2 | + · · · + |zn |

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Conjugado complejo
Dado z = x + iy, su complejoconjugado se define como
z¯ = x − iy
Por lo tanto,
Re(z) =

1
(z + z¯ ),
2

z z¯ = x 2 + y 2 = |z|2 ,
(z1 ± z2 ) = z¯1 ± z¯2 ,

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1
(z − z¯ ),
2i
z1
z1 z¯2
=
,
z2
|z2 |2

Im(z) =

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z1 z2 = z¯1 z¯2

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Valor principal
Sea z = 1 + i. Entonces
r = |z| =

√

1+1 =

√

2

π
1
= ± 2nπ, n = 0, 1, 2, · · ·
1
4
El valor principal del argumentoes π4 .
arg(z) = arctan

Si z = 1 − i, entonces arg(z) = − π4 ± 2nπ, n = 0, 1, 2, · · · . El valor
principal es − π4 .

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Formula de Moivre

Sea z = x + iy = r (cos(θ) + i sin(θ) = r ∠θ

Entonces, para cualquier entero n
z n = r n (cos(θ) + i sin(θ))n = r n ∠nθ
Esto da la formula de Moivre
(cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + isin(nθ)

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Ejemplo. Expresar cos(2θ) y sin(2θ) en terminos de cos(θ) y sin(θ).
[cos(θ) + i sin(θ)]2 =

Ejemplo. Expresar cos(θ)4 en terminos de funciones trigonometricas
de multiplos de θ.

√
Ejemplo. Calcular ( 3 + i)7 .

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Raices de numeros...