Vectores demostraciones

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
ALGEBRA LINEAL I
TALLER DE VECTORES

1. v
u
u-v
u+v
v
u
u-v
u+v
Demostrar usando vectores, que las diagonales de un rombo son perpendiculares.Sean los vectores u y v dos lados consecutivos de
un rombo, sus diagonales son (u+v) y (u-v)

cosθ=u.vu*v⟹cosθ=u+v.u-vu+v+ u-v=u.u-u.v+v.u-v.vu+v+ u-v=u2- v2u+v+ u-v

Como los vectores u y vson lados de un rombo, entonces sus magnitudes son iguales.
Tenemos que u=v

cosθ=u2- v2u+v+ u-v=u2- u2u+v+ u-v=0u+v+ u-v=0

Como cosθ=0, entonces los vectores (u+v) y (u-v) son ortogonales,luego las diagonales del rombo son perpendiculares.
*En forma general se tiene que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

2. ¿Verdadero o Falso? Si u y v son ortogonales a w ¿Es u+ vortogonal a w?
VERDADERO.
Dados u y v que son ortogonales a w demostrar que u+ v es ortogonal a w.
Porque u y v son ortogonales a w
Porque u y v son ortogonales a w
u ⋅w = 0
v ⋅w = 0
u+v ⋅w=0+0=0

u+ v ⋅w=0+0=0

u+ v ⋅w=u ⋅w + v⋅w

Como el producto escalar entre los vectores (u+ v) y w es cero, se tiene que los vectores son ortogonales
3. (a, a, a)
x
a
z
a
(0, a, 0)a
y
u
v
(a, a, a)
x
a
z
a
(0, a, 0)
a
y
u
v
Hallar el ángulo entre la diagonal de un cubo y una de sus aristas.

Dado un cubo de arista a

Diagonal: v=ai+aj+ak

Arista:u=0i+aj+0k

cosθ=u⋅vu*v⟹cosθ=0a+a(a)+0a02+a2+02*a2+a2+a2=a2a3a2=a2a23=13

cosθ=13 ⟹ θ=cos-113≈54,73∘

θ≈54,73∘
4. a) ¿Qué puede decir de dos vectores u y v sabiendo que la proyección de u sobre v esu? b) ¿Y si es 0?
a) Sea w1 la proyección de u sobre v, se tiene que w1=u, luego w1=u
u=w1

v
u=w1

v

w1=u⋅vv2*v=u

u=u⋅vv2*v

u⋅v*v=v2*u

u⋅v =v2*uv

u⋅v =v*ucosθ=u⋅vu*v⇒cosθ=v*uu*v=1

Como cosθ=1, entonces los vectores u y v son paralelos
w1=0

v

u

w1=0

v

u

b) Dado los vectores u y v y la proyección de u sobre v (w1=0)
w1=u⋅vv2*v=0

u⋅v*v=0v2=0...