Vectores

La Derivada
La derivada se refiere a cómo cambia una magnitud con respecto a otra, es decir su razón de cambio. Si hablamos de cómo cambia la posición con respecto al tiempo, estamos hablando de su razón de cambio y en específico le llamamos velocidad. Si la velocidad cambia con respecto al tiempo, a su razón de cambio le llamamos aceleración.
La interpretación gráfica o geométrica de laderivada es la pendiente en un punto de su gráfica.
 Una de las ideas básicas en Cálculo Matemático es el concepto de Derivada. Para introducir dicho concepto se recurre generalmente a dos problemas: uno Físico, para calcular la velocidad instantánea de un móvil, y otro Geométrico, para determinar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto cualquiera de ella. Los dos problemas conducenal mismo cálculo: el límite de un cociente de incrementos cuando el denominador tiende a cero. Puesto que, muchos problemas importantes dependen de la determinación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto específico, a continuación se introduce el concepto analítico de la pendiente de recta tangente a una función en un punto y luego el concepto de derivada de unafunción, derivadas laterales, teoremas sobre derivadas, derivación implícita, derivadas de orden superior.

Recta Tangente

La definición de una recta tangente dice que:
Si f esta definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el limite:
Entonces, la recta que pasa por (x1,f(x1 )) y cuenta con una pendiente m es la recta tangente a la grafica de f en el punto (x1,f (x1))            Sea f una función que es continua en Para definir la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto  consideremos un intervalo abierto I que contiene a  Sea  otro punto sobre la gráfica de f tal que  esté contenido en I. La recta que pase por los puntos P y Q se denomina recta secante.

                       La pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q de la curva,está determinada por:

            Como  la pendiente puede escribirse así:

            Consideremos ahora el punto P como un punto fijo, y que el punto Q se mueve a lo largo de la curva hacia P. Esto es igual a decir que  tiende a cero. Si esto sucede la recta secante gira sobre el punto P hasta convertirse en una recta tangente a la curva en el punto P, por lo tanto, la pendiente de la rectatangente en dicho punto puede ser calculada mediante la siguiente ecuación:

   
          El proceso del cálculo de la derivada de una función aplicando la fórmula (B) es muy largo y laborioso, por lo tanto, a continuación se proporcionan algunos teoremas que permiten determinar las derivadas con mayor facilidad; con la finalidad de familiarizarnos con las notaciones, la derivada se expresarácon alguna de las tres expresiones equivalentes  ó .
Derivada de una función constante.
            Si donde c es una constante, entonces:

Ejemplo.
            Si entonces,
 Derivada de una función potencial.
            Si donde n es un número racional, entonces:

Ejemplo.
            Si entonces, 
Derivada del producto de una función por una constante.
            Si g es unafunción definida por  donde f es una función y c una constante, entonces:

Ejemplo.
            Si entonces, 
A partir del resultado obtenido en el ejemplo anterior, podemos enunciar el siguiente teorema.
Derivada del producto de una función potencial por una constante.
            Si donde  n es un número entero positivo y c una constante, entonces:

Derivada de una adición de funciones.            Si  son funciones y si f es una función definida por:  y si  existen, entonces:

Ejemplo.
            Determine  si 
            
Derivada de un producto de funciones.
            Si f y g son funciones y h una función definida por  y si  y  existen, entonces:

Ejemplo.
            Sea  determine 
       

    
Derivada de un cociente de funciones.
           ...