Vectores

TEMA 5 – VECTORES EN EL ESPACIO – MATEMÁTICAS II – 2º Bach.

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TEMA 5 – VECTORES EN EL ESPACIO
5.1 – LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES
DEFINICIÓN
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Un vector es un segmento orientado. Un vector AB queda determinado por dos puntos, origen A y
extremo B.
Elementos de un vector:
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•
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Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector entre barras : | AB|
Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la de todas las
rectas paralelas a ella.
Sentido si va de A a B o de B a A.

Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido (no
necesariamente el mismo origen y el mismo extremo). Todos ellos se llaman representantes de un
único vector. Llamaremosrepresentante canónico a aquel vector que tiene por origen el punto O.
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Notación: Los vectores se representan con una flechita encima de una letra: u , v , w , x , y , z ,....
o bien mediante uno de sus representantes, escribiendo su origen y su extremo con una flecha
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encima AB , MN , …

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
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El producto de un número k ≠ 0por un vector v es otro vector kv que tiene:
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Módulo: igual al producto del módulo de v por el valor absoluto de k : | kv | = |k|.| v |

•
•

Dirección: la misma que la de v
Sentido:

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-

El de v si k > 0

-

El del opuesto de v si k < 0

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El producto 0. v es igual al vector cero: 0 . Es un vector cuyo origen y extremo coinciden y, portanto, su módulo es cero y carece de dirección y de sentido.
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El vector -1. v se designa por – v y se llama opuesto de v

VECTORES UNITARIOS
Los vectores de módulo 1 se llaman vectores unitarios.
El vector

1
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v es un vector unitario de la misma dirección y el mismo sentido que v .

|v|
→
-1 →
El vector → v es un vector unitario de la misma dirección que v ,pero con sentido opuesto.
|v|

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SUMA DE DOS VECTORES
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Dados dos vectores u y v para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades:
• Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es el vector
que une el origen del primero con el extremo del segundo.
• Se sitúan los dos vectorescon origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por lados los
dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.
RESTA DE DOS VECTORES
Restar dos vectores es lo mismo que sumar al primer vector el opuesto del segundo:
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u – v = u + (- v )

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
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Suma de vectores:

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Asociativa:

-

Conmutativa:-

Vector nulo:

-

Vector opuesto:

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u+v=v+u
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0 + v = v+ 0 = v
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•

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(u +v) + w = u + (v + w)

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v + (- v ) = 0

Producto de números por vectores
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→

-

Asociativa:

a.(b. v ) = (a.b). v

-

Distributiva I:

(a + b) v = a v + b v

-

Distributiva II:

a.( u + v ) = a u + a v

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- Producto por 1: 1. v = v
Todas estas propiedades le confieren al conjunto de los vectores la estructura de espacio vectorial.

5.2 – EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
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Dados varios vectores, x , y , z , ...., w , y varios números a, b,c,...m, el vector a x + b y + c z +
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.... + m w sellama combinación lineal de los vectores.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Varios vectores se llaman linealmente dependientes si alguno de ellos se puede poner como
combinación lineal de los demás. Cuándo no es así, se llaman linealmente independientes.
Ejemplos:
-

Dos vectores alineados son linealmente dependientes
Dos vectores no alineados son linealmente independientes
Tres...