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TRILCE

Capítulo

10

ECUACIONES DE PRIMER
Y SEGUNDO GRADO

Ecuaciones
Son igualdades condicionales, en las que al menos
debe existir una letra llamada incógnita :

Manera correcta :

(x  1)(x  1)
5  x4
x 1
única solución

Ejemplo : 2x - 1 = 7 + x
Es una ecuación de incógnita "x".
Solución de una ecuación
Es el valor o valores de la incógnita que reemplazados
en la ecuación, verifican laigualdad.
Si la ecuación tiene una sola incógnita a la solución
también se le llama raíz.

3.

Si ambos miembros de una ecuación se elevan a un
mismo exponente, entonces, se pueden introducir
soluciones extrañas.
Ejemplo :

Elevando al cuadrado :

x 2  7  x 2  14x  49

Ejemplo : x - 3 = 10
Solución o raíz : x = 13.

x=3

Si de los dos miembros de una ecuación se simplifican
o dividen, factoresque contengan a la incógnita,
entonces, se perderán soluciones.
(Esto se evita, si la expresión simplificada se iguala a
cero).
Ejemplo :
(x+1)(x-1) = 7(x - 1)
Solución :

Ecuaciones de Primer Grado
Son aquellas ecuaciones que adoptan la forma :
ax + b = 0

Solución de la ecuación :

solución o raíz : x = 

(x-1)  x +1 = 7  x = 6
para no perder una solución :
x-1=0  x=1
Si se multiplica ambosmiembros de una ecuación
por una expresión que contiene a la incógnita,
entonces, se pueden introducir soluciones extrañas.
(Esto se evita simplificando previamente).
Resolver :

x2  1
5
x 1
(x-1) pasa a multiplicar :
Ejemplo :

x
1


b
a

Discusión de la raíz
En : ax + b = 0  raíz : x = 

b
a

Entonces :
Si : a = 0 b = 0  Ec. Indeterminada
Si : a = 0 b  0  Ec. Incompatible
Si : a  0 Ec. Determinada.
Ejemplo :
Hallar, "a" y "b", si la ecuación :

(x 2  1)  5 (x  1)
resolviendo :

La ecuación no tiene solución, es incompatible.

En : ax + b = 0

Simplificando :

2.

(no verifica la ecuación dada)
solución extraña

Observaciones :
1.

x2  7  x  7

x4

(a - 3)x + b = 5, es indeterminada.

no verifica

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Álgebra
Solución :

x

5b
a3

si es indeterminada :
5-b=0 b=5
a-3=0  a=3

x1 ; 2 

2  52 2  2 13

6
6

x1 ; 2 

1  13
3

CS  {

Ecuación de Segundo Grado (Cuadrática)

1  13 1  13
;
}
3
3

Discriminante (  ) dada la ecuación cuadrática en "x" :

Forma General :

ax 2  bx  c  0 ; a  0
ax 2  bx  c  0

se define como :

donde :

  b 2  4 ac

x = incógnita, asume dos valores

a ; b ;  c  R / a  0

*

Resolución de la Ecuación :
1.  (5)2  4(2)(1)

  25  8
  17

Por Factorización :
*

Para la ecuación : 2x 2  5 x  1  0
su discriminante es :

2

Resolver la ecuación : x  x  6  0
factorizando :(x-3)(x+2) = 0
ahora : x-3 = 0; x+2 =0

Propiedad del Discriminante : el discriminante de una
ecuación cuadrática permite decidir qué clase de raíces
presenta; es decir :

despejando : x = 3; x = -2
luego : C.S. = {3; -2}
*2

Resolver la ecuación : 4 x  9  0

1.

Si :  > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes.

2.

Si :  = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales.

3.

Si :  < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias y
conjugadas.

factorizando : (2x+3)(2x-3) = 0
ahora : 2x+3 =0; 2x-3 = 0
despejando : x = -3/2; x = 3/2
luego : CS = {-3/2; 3/2}
2.

Relación entre las Raíces y los Coeficientes(propiedades de las raíces) de una ecuación
cuadrática : si x 1 ; x 2 son las raíces de la ecuación
cuadrática en "x".

ax 2  bx  c  0 ; a  0

Por la Fórmula General :
Si :

x1 ; x 2

son las raíces de la ecuación

2

ax  bx  c  0 ; a  0 , estas se obtienen a partir de
la relación :

 b  b 2  4 ac
x1 ; 2 
2a

se cumple :
Suma : s  x1  x 2  

2.

Producto : p  x1 . x 2 
*

*

Resolverla ecuación :

3x 2  2x  4  0
observar que : a = 3, b = -2 ; c = -4

x1 ; 2 

100

 (2)  (2)2  4(3)(4)
2(3)

b
a

1.

c
a

Para la ecuación :

2x 2  10x  1  0
x1  x 2  

10
1
 5 ; x1 . x 2 
2
2

Observación : para determinar la diferencia de las raíces se
recomienda utilizar la identidad de Legendre.

Ecuaciones Cuadráticas Equivalentes :
siendo :

ax 2  bx  c  0
2

2...