Axiomas

AXIOMAS DE CUERPO
Trataremos de organizar un conjunto numérico axiomáticamente con las operaciones de suma, multiplicación y una relación de orden. A este conjunto numérico le daremos el nombre de REALES, .
En este conjunto numérico admitimos la existencia de dos operaciones, suma y multiplicación, de la siguiente manera: Para cada par , existe la suma y la multiplicación y son únicospara cada x e y. Los símbolos de suma y de multiplicación , no tienen otro significado especial que el precisado en los siguientes AXIOMAS.
Axioma I - Propiedad conmutativa -
Axioma II - Propiedad asociativa -
Axioma III - Propiedad distributiva -
Axioma IV - Existencia de neutros - Existen dos números distintos, que se indican con el 0 y con el , tales que, para cada número real,cumplen:
Axioma V - Existencia de opuesto - Para cada número real , existe otro número real y, tal que .
Axioma VI - Existencia de inverso - Para cada número real , existe otro número real y tal que .
De los axiomas anteriores pueden deducirse las propiedades usuales del álgebra. Demostraremos a continuación alguna de ellas. En los siguientes teoremas, las letras a, b, c, d representannúmeros reales cualesquiera
Teorema 1 - (Propiedad cancelativa de la suma) –
Hipótesis: ; Tesis:
Demostración: En virtud del Axioma V, dado el real a existe un real y tal que . En la condición de la hipótesis sumamos a ambos miembros y: . Aplicando la propiedad asociativa (Axioma II): . Pero como , entonces . Aplicando el Axioma IV, .
Corolario - (Unicidad del 0) - Demostración: Sea 0'otro número real que tiene la propiedad del 0. Entonces
Teorema 2 - (Posibilidad de resta) - Dados a y b, existe uno y solo un x tal que
Hipótesis: ; Tesis: ; x es único.
Demostración: Por Axioma V, puedo elegir . Le sumo b al y elegido y llamo x a dicha suma: . A los dos miembros de la igualdad le sumo a: Como , entonces , de donde resulta que .
Hemos probado que existe x.Probaremos que es único. Supongo que existen x y x' tales que: . Resultaría que , de donde por el Teorema 1: . Quedó demostrado que dados a y b siempre se puede obtener . En particular se escribe y se llama opuesto de a.
Teorema 3 – Hipótesis: ; Tesis:
Demostración: Tomando e , demostraremos que . Por Teorema 2, si , entonces .
Tomo la igualdad y sumo a en ambos miembros: . Como, de donde
Teorema 4 - ( El opuesto del opuesto de a es a)
Demostración: Por el axioma V se tiene que , pero esta igualdad nos dice que a es el opuesto de , es decir que como queríamos demostrar.
Teorema 5 - Hipótesis: ; Tesis:
Demostración: Por el teorema 2 (posibilidad de resta) resulta .
Por el axioma III: .
Teorema 6 - Hipótesis: ; Tesis:
Demostración: Como ,multiplico por a: . Entonces . Esto significa que tiene la propiedad de neutro del axioma IV, entonces .
Teorema 7 - (Propiedad cancelativa de la multiplicación)
Hipótesis: . Tesis:
Demostración: Como , por axioma VI . Entonces . Aplicando el axioma II,
Corolario - (Unicidad del 1)
Demostración: Supongo que existe 1' que cumple con la propiedad de 1. .
Teorema 8 - (Posibilidadde la división) - Dados a y b con , existe un x y sólo uno tal que
Hipótesis: , ; Tesis: ; x es único
Demostración: Por axioma VI, se puede determinar y tal que . Obtenemos . De lo anterior:
Hemos probado que existe x. Demostraremos que es único. Suponemos que existen x y x' tales que
Tenemos, entonces, que para cada par a, b con , puede obtenerse y lo llamaremos cociente de bentre a. En particular si queda y lo llamaremos inverso de a.
Teorema 9 – Hipótesis: ; Tesis:
Demostración: Llamamos . Demostraremos . Multiplicamos ambos miembros por a: . Por teorema 8:
Teorema 10 - Si , entonces . (El inverso del inverso de a es a)
Demostración: Por axioma VI se tiene que . Por esta igualdad se deduce que a es el inverso de como queríamos demostrar....