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Teoremas de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias
Mikael Rodr´ ıguez Chala y Juan Pedro Araque Espinosa 23 de abril de 2007

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Licencia
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Resumen Con el desarrollo del presente texto se busca demostrar que, bajo ciertas condiciones, una ecuaci´n diferencial ordinaria admite una unica soluci´n.o ´ o

1.
1.1.

Existencia de soluciones
Construcci´n de soluciones proximadas o

Definici´n 1. Sea D ⊂ R2 un dominio y f : D −→ R continua en D. Sea x ∈ I = [x1 , x2 ]. o Entonces, una funci´n y(x) definida en ese intervalo es una soluci´n de y = f (x, y) con error o o si: 1. y(x) es admisible, es decir, (x, y(x)) est´ en D siempre que x est´ en I. a e 2. y(x) es continua en I. 3. y(x)tiene derivada continua a trozos en I. 4. |y (x) − f (x, y(x))| ≤ en I, salvo en un n´mero discreto de puntos. u Proposici´n 1. Demostremos que, dado (x0 , y0 ) en D, tal que los puntos de un rect´ngulo de o a lados a y b, es decir, R : |x − x0 | ≤ a, |y − y0 | ≤ b, pertenezcan todos a D, y dado M ∈ R tal que |f (x, y)| ≤ M para todo (x, y) ∈ R; se puede construir una soluci´n aproximada y(x) de o y =f (x, y) en el intervalo |x − x0 | ≤ h, donde h = m´ a, ın (1)

b ; y de manera que y(x0 ) = y0 y cuyo error M sea un n´mero positivo arbitrariamente peque˜o. u n

Para demostrarlo, consid´rese el rect´ngulo S : |x − x0 | ≤ h, |y − y0 | ≤ M h, que est´ contee a a nido en R por la definici´n de h. o

Fijemos el de la proposici´n anterior. Dado que f (x, y) es continua en S, lo esuniformemente o por ser este un compacto. Por tanto, dado existe δ > 0 tal que |f (¯, y ) − f (x, y)| ≤ x ¯ (2)

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para (¯, y ), (x, y) en S, |¯ − x| ≤ δ, |¯ − y| ≤ δ. x ¯ x y Sea {x1 , x2 , . . ., xn−1 } cualquier conjunto de puntos tales que 1. x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = x0 + h. 2. xi − xi−1 ≤ min δ, δ , i = 1, 2, ..., n. M

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Vamos a construir una soluci´n aproximada en el intervalo x0 ≤x ≤ x0 + h; un proceso o parecido la determinar´ en el intervalo x0 − h ≤ x ≤ x0 . ıa La soluci´n aproximada ser´ una poligonal construida de la siguiente manera: a partir de o a (x0 , y0 ) trazamos hacia la derecha un segmento cuya pendiente sea f (x0 , y0 ); cortar´ a la recta a x = x1 en un punto (x1 , y1 ). A partir de (x1 , y1 ) trazamos un nuevo segmento hacia la derecha con pendiente f (x1, y1 ) que corta a la recta x = x2 en y2 ; etc. El punto (x1 , y1 ) tiene que estar en el tri´ngulo OP Q, pues tan(P Oxn ) = M , y f (x0 , y0 ) ≤ M . Sucesivamente, (x2 , y2 ) a estar´ tambi´n en OP Q, etc. De aqu´ que el proceso se pueda continuar hasta xn = x0 + h. a e ı Anal´ ıticamente, podemos definir y(x) por expresiones recurrentes: y(x) = y(xi−1 ) + (x − xi−1 )f (xi−1 , y(xi−1 )), dondexi−1 ≤ x ≤ xi , i = 1, 2, ..., n. Por su definici´n, y(x) es admisible, continua y tiene derivada continua a trozos: o y (x) = f (xi−1 , y(xi−1 )) con xi−1 < x < xi e i = 1, 2, ...n.2 Adem´s, si xi−1 < x < xi , se verifica que a |y (x) − f (x, y(x))| = |f (xi−1 , y(xi−1 )) − f (x, y(x))|, (5) (4) (3)

donde hemos sustituido literalmente la expresi´n anterior para la derivada. o Teniendo en cuenta...