Factorización De Polinomios
Páginas: 11 (2604 palabras)
Publicado: 12 de febrero de 2016
Artículo de sección
Revista digital Matemática, Educación e Internet (www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/). Vol. 12, No 1. Agosto − Febrero 2012.
Factorización de polinomios.
Sandra Schmidt Q.
sschmidt@tec.ac.cr
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica
1.1
Introducción
Se presenta aquí la factorización de polinomios, concentrándose especialmente en factorización de polinomiosutilizando las fórmulas notables y llegando por medio de ellas a la fórmula general para factorizar polinomios
de grado dos.
Los polinomios son expresiones algebraicas donde se combinan monomios a través de la adición y sustracción.
Pero, qué cosa son los monomios? Pues bien, son expresiones donde se combinan variables, representadas
por letras de nuestro abecedario y números reales. Sin embargo,esta combinación no es al azar. Para que sea
monomio los exponentes de las variables deben ser positivos y es el producto quien une variables y números
reales.
Según lo que se define anteriormente como monomio, responde: de las expresiones siguientes cuáles corresponden a monomios?
1. −3xy
4.
2.
1
4a 3
5.
√ 2
5x + 3x
√
2ab
3.
6.
4x2
y
−3a2 b
4
La combinación de dos monomios por adición osustracción se le suele llamar binomio. Si se combinan
tres monomios por adición o sustracción se les llama trinomios. Bueno, el asunto de los nombres se puede
simplificar si les llamamos simplemente polinomios.
Ahora, otra vez responde según la información anterior: de las expresiones siguientes cuáles corresponden a
polinomios?
1. −3z3 − 8z + y
4.
4 1
x 2 + x−2
3
2.
5.
√ 2
5x + 3x − 4
√
2x− 3 z
3.
6.
2
− 3y
x
5b2 − 3ay2 − 8y
Podemos tener polinomios en varias variables o polinomios en una variable. Trataremos solamente a los
polinomios en una variable. Además, muchas veces para simplificar el lenguaje escrito les ponemos nombres
tales como: p(x), q(x), r(x), etcétera, con minúscula y otras con mayúscula: P(x), Q(x), R(x) .
2
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Ejemplos de lo anterior son:
a) P(x) =
√ 2
5x + 3x − 4
b) Q(x) = 3x5 − 1
1
c) q(x) = 2x4 + 3x2 − .
2
Por ahora nos interesa la factorización de polinomios de grado dos. Estudiaremos esto por casos. Por cierto,
qué significa factorizar un polinomio?
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamadosfactores, de tal modo que al
multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
1.2
Factorización por factor común
Observa lo que hay en común en la representación siguiente, toma en cuenta que las estrellas representan
valores reales:
+
La estrella azul se repite en ambos sumandos, por lo que podemos escribir la expresión anterior como sigue:
+
(
)
Esta visualización nos ayuda arecordar la propiedad distributiva de la adición con respecto a la multiplicación.
La cual establece que:
ac + bc = (a + b) c
Veamos otros ejemplos.
+
La estrella azul se repite, por lo menos, dos veces en cada sumando, así podemos representar esa expresión,
nuevamente por la propiedad distributiva de la adición con respecto a la multiplicación, de la manera siguiente:
(
Uno más:
+
)
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3
-
+
Luego tendríamos:
(
+
-
)
Ahora, utilizando la representación simbólica del álgebra, considera que la ilustración anterior, figura (3) y
figura(4), se puede expresar así:
9x2 − 12x3 = (9 − 12x) x2
Esto que hemos estado haciendo corresponde a la factorización por factorcomún. Ahora respondamos la
siguiente pregunta: por qué también se cumple que 9x2 − 12x3 = x2 (9 − 12x)?. Observemos ahora las representaciones de la figura (5) y la figura (6), debes tener que:
9x3 − 12x4 + 16x5 = 9 − 12x + 16x2 x3
Podríamos entonces tener la regla siguiente:
(I)
Factorizando por factor común significa: que debe haber
una variable que se repite en todos los sumandos del...
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Factorización de polinomios.
Sandra Schmidt Q.
sschmidt@tec.ac.cr
Escuela de Matemática
Instituto Tecnológico de Costa Rica
1.1
Introducción
Se presenta aquí la factorización de polinomios, concentrándose especialmente en factorización de polinomiosutilizando las fórmulas notables y llegando por medio de ellas a la fórmula general para factorizar polinomios
de grado dos.
Los polinomios son expresiones algebraicas donde se combinan monomios a través de la adición y sustracción.
Pero, qué cosa son los monomios? Pues bien, son expresiones donde se combinan variables, representadas
por letras de nuestro abecedario y números reales. Sin embargo,esta combinación no es al azar. Para que sea
monomio los exponentes de las variables deben ser positivos y es el producto quien une variables y números
reales.
Según lo que se define anteriormente como monomio, responde: de las expresiones siguientes cuáles corresponden a monomios?
1. −3xy
4.
2.
1
4a 3
5.
√ 2
5x + 3x
√
2ab
3.
6.
4x2
y
−3a2 b
4
La combinación de dos monomios por adición osustracción se le suele llamar binomio. Si se combinan
tres monomios por adición o sustracción se les llama trinomios. Bueno, el asunto de los nombres se puede
simplificar si les llamamos simplemente polinomios.
Ahora, otra vez responde según la información anterior: de las expresiones siguientes cuáles corresponden a
polinomios?
1. −3z3 − 8z + y
4.
4 1
x 2 + x−2
3
2.
5.
√ 2
5x + 3x − 4
√
2x− 3 z
3.
6.
2
− 3y
x
5b2 − 3ay2 − 8y
Podemos tener polinomios en varias variables o polinomios en una variable. Trataremos solamente a los
polinomios en una variable. Además, muchas veces para simplificar el lenguaje escrito les ponemos nombres
tales como: p(x), q(x), r(x), etcétera, con minúscula y otras con mayúscula: P(x), Q(x), R(x) .
2
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Ejemplos de lo anterior son:
a) P(x) =
√ 2
5x + 3x − 4
b) Q(x) = 3x5 − 1
1
c) q(x) = 2x4 + 3x2 − .
2
Por ahora nos interesa la factorización de polinomios de grado dos. Estudiaremos esto por casos. Por cierto,
qué significa factorizar un polinomio?
Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamadosfactores, de tal modo que al
multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.
1.2
Factorización por factor común
Observa lo que hay en común en la representación siguiente, toma en cuenta que las estrellas representan
valores reales:
+
La estrella azul se repite en ambos sumandos, por lo que podemos escribir la expresión anterior como sigue:
+
(
)
Esta visualización nos ayuda arecordar la propiedad distributiva de la adición con respecto a la multiplicación.
La cual establece que:
ac + bc = (a + b) c
Veamos otros ejemplos.
+
La estrella azul se repite, por lo menos, dos veces en cada sumando, así podemos representar esa expresión,
nuevamente por la propiedad distributiva de la adición con respecto a la multiplicación, de la manera siguiente:
(
Uno más:
+
)
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3
-
+
Luego tendríamos:
(
+
-
)
Ahora, utilizando la representación simbólica del álgebra, considera que la ilustración anterior, figura (3) y
figura(4), se puede expresar así:
9x2 − 12x3 = (9 − 12x) x2
Esto que hemos estado haciendo corresponde a la factorización por factorcomún. Ahora respondamos la
siguiente pregunta: por qué también se cumple que 9x2 − 12x3 = x2 (9 − 12x)?. Observemos ahora las representaciones de la figura (5) y la figura (6), debes tener que:
9x3 − 12x4 + 16x5 = 9 − 12x + 16x2 x3
Podríamos entonces tener la regla siguiente:
(I)
Factorizando por factor común significa: que debe haber
una variable que se repite en todos los sumandos del...
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