Teorema de Bayes

Teorema de Bayes
En la teoría de la probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 17631 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B entérminos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes esde enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podríasaber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todassus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.
La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidadcondicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un evento que ocurrió primero dado lo que ocurrió después. Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar unaproposición previa.
Proposición 3.8: Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S, esto es
Ai Aj =  ,y . Entonces para cualquier evento B se tiene que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) +  + P(Ak)P(B/Ak)Demostración: Considérese el siguiente diagrama

P(B) = P(B S)
= P[B (A1  A2    Ak )]
= P[(B A1) (B A2)   (B Ak )] (unión de eventos mutuamente excluyentes)
= P(B A1) + P(B A2)+ +P(B Ak) (por el axioma 3)
= P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+  +P(Ak)P(B/Ak) (por ecuación [3.3])
= 

esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) deuna variable aleatoria , es el número  que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de...