Algebra lineal

1. Defina la composición de transformación lineal.

Sean T1=U→V y T2=V→W transformaciones lineales, ambas sobre un mismo K. Se define la transformación compuesta T2∘T2=U→W por:
T2∘T1u=T2T1u∀u∈U

Observación:

Es fácil demostrar que T2∘T2=U→W es una transformación lineal.

2. De tres ejemplos de composición de transformación lineal

Considérese las siguientes transformacioneslineales:

a) Ta=R2→R2 definida por Taxy=yx
b) Tb=R3→R2 definida por Tbxyz=xy
c) Tc=R2→R3 definida por Tcxy=x+yx-y0
Ejemplo 1: Ta∘Tbxyz

Ta∘Tbxyz=TaTbxyz
=Taxy
=yx

Finalmente Ta∘Tbxyz=yxEjemplo 2: Tb∘Tcxy

Tb∘Tcxy=TbTcxy
=Tbx+yx-y0
=x+yx-y

Finalmente Tb∘Tcxy=x+yx-y

Ejemplo 3: Tc∘Taxy

Tc∘Taxy=TcTaxy
=Tcyx
=y+xy-x0

Finalmente Tc∘Taxy=y+xy-x0

3. Defina una transformaciónlineal invertible o no regular

Una transformación lineal T:V→W es invertible si existe una transformación lineal T':W→V con la propiedad T∘T'=Iw y T'∘T=IV

A la transformación T’ se la llama inversade T

Ejemplo: Sea T:R2→P1X una transformación lineal definida por Tab=bx+a , luego se tiene que T es invertible, ya que existe una transformación lineal T':P1x→R2 definida por T'ax+b =ba tal queT∘T'=IP1x y T'∘T=IR2

4. Defina la matriz asociada a una transformación lineal

Sea T:V→W una transformación lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. Sea B=V1,V2,…,Vn unabase de V y B'=V1',V2',…,Vm' una base de W.

La matriz A de m×n cuyas columnas son:

TV1B' , TV2B' , ……. , TVnB'

Es la única matriz que satisface

TVB'=A.VB

Observación: La matriz A se llama matriz deT con respecto a B y B’. Si V = W y B = B’, A se llama matriz de T con respecto a B
5. Si V=R2 y W=R3; sea B=V11,1 , V21,2 base de V y B'=W11,0,0 , W20,1,0 , W30,0,1 base de W y se defineT:R2→R3 como:
Txy=x+yx-y0
Hallar A=TBB' [La matriz asociada a la transformación lineal respecto a B y B’]

Solución

Transformamos los vectores de la base B y los expresamos en función de la base...