Algebra lineal

Combinación lineal de vectores.
 
   
 

Ejemplo:
Sean [pic]y [pic]vectores en [pic].
Exprese, si es posible, [pic]como combinación lineal de [pic]y [pic]
Solución
Se tiene que determinardos números reales, los cuales denotamos [pic]y [pic], tales que
[pic]
De la igualdad anterior se tiene que
[pic]
De donde se obtiene que [pic]
Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior seconcluye que [pic]y [pic], y por lo tanto:
[pic]
 
Ejemplo:
Sea u = (2, -1, 1) y v = (1, -6, 2)
Determine para qué valores de [pic]se cumple que el vector w = (4, [pic], 1) se puede expresar comocombinación lineal de u y v.
El vector w se puede expresar como combinación lineal de u y v si existen [pic]y [pic]tales que:
(4, [pic], -1) = [pic](2, -1, 1) + [pic](1, -6, 2)                                                  [pic]
Para resolver este sistema se toma la primera y tercera ecuación:
[pic]
                                                 -3[pic] = 6
                                             [pic]=-2
Sustituyendo [pic]= -2 en la primera ecuación se tiene que 2[pic] + (-2) = 4, por lo que [pic]= 3.
Sustituyendo [pic]= 3 y [pic]= -2 en la ecuación -[pic] - 6[pic] se tiene que -3 - 6(-2) =[pic], se tiene que [pic]= 9.
Respuesta:
El valor de [pic]para que w se pueda expresar como combinación lineal de u y v es 9.

FORMA DE SOLUCION DADOS LOS VALORES:

Dados los vectoresX, (1,2), Y (3,1) hallar el vector combinación lineal [pic]

Z =2(1,2)+3(3,1)= (2,4)+ (9,3)= (11+7)

El vector [pic], ¿se puede expresar como combinación lineal de los vectores X,(3,2), Y (1,4)

(2, 1)=a (3, 2) + b (1, 4)

(2, 1)= (3a, 2a) + (b, 4b)

(2, 1)= (3a+b+2a+4b)

2=3a+b

1=2a+4b

a =5/5=1b =5/5=1

3a+ b = 3 1 = (3)(4)-(1)(2)= 10 ≠0 10/2=5

2a+4b 2 4

La independencia lineal se define dependiendo el resultado que se haya obtenido en la...