Algebra lineal

1

ESPACIOS VECTORIALES
Objetivos Identificar espacios y subespacios vectoriales, y analizar sus caracter´ ısticas fundamentales. Determinar bases para espacios y subespacios vectoriales. Conocer y manejar los conceptos de combinaci´n lineal, dependencia e independencia lio neal de vectores. Transferir los conceptos b´sicos adquiridos de espacios vectoriales a situaciones problem´a a ticas dela vida real y de su especialidad interpretando los resultados.

1.1.

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es el objeto b´sico de estudio en la rama de la matem´tica llamada a a a ´lgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: suma de vectores y multiplicaci´n por un escalar. Estas o dos operacionesse tienen que ce˜ir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades n comunes de las tuplas de n´meros reales as´ como de los vectores en el espacio eucl´ u ı ıdeo. Un concepto importante es el de dimensi´n. o Hist´ricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se o remontan al siglo XVII: geometr´ anal´ ıa ıtica, matrices y sistemas de ecuacioneslineales. La primera formulaci´n moderna y axiom´tica se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. o a Los siguientes avances en la teor´ de espacios vectoriales provienen del an´lisis funcional, ıa a principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de an´lisis funcional requer´ a ıan 1

2

Algebra Lineal

Walter Arriaga Delgado

resolver problemas sobre la convergencia. Esto sehizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topolog´ permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. ıa, Estos espacios vectoriales topol´gicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de o Hilbert tienen una teor´ m´s rica y complicada. ıa a Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matem´tica, la ciencia y la a ingenier´ Seutilizan en m´todos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modıa. e ernas de compresi´n de im´genes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones o a en derivadas parciales. Adem´s, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta a libre de coordenadas de tratar con objetos geom´tricos y f´ e ısicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar laspropiedades locales de variedades mediante t´cnicas de linealizaci´n. e o Definici´n 1.1.1. Un espacio vectorial V es un conjunto, cuyos elementos son llamados o vectores, en el que est´n definidas dos operaciones: a La adici´n, llamada ley de composici´n interna, que a cada par cualquiera de vectores o o u, v ∈ V le hace corresponder un nuevo vector u + v ∈ V , esto se expresa de la siguiente manera: +:V ×V (u, v) Se cumplen los siguientes axiomas: A1 u + v ∈ V , ∀ u, v ∈ V cerradura. A2 u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V conmutatividad. A3 (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V asociatividad. A4 ∀ u ∈ V , existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u donde “0” representa el vector nulo o el n´mero cero. u A5 ∀ u ∈ V , existe −u ∈ V tal que u + (−u) = (−u) + u = 0 donde “−u” se denomina opuesto de u. Lamultiplicaci´n por un escalar, llamada ley de composici´n externa, que a cada o o escalar cualquiera α que pertenece al cuerpo K y a cada vector cualquiera u ∈ V le hace corresponder un vector αv, esto se expresa como: ·: K×V (α, v) −→ V −→ ·(α, v) = α · v −→ V −→ +(u, v) = u + v

Walter Arriaga Delgado

Algebra Lineal

3

Se cumplen los siguientes axiomas: M1 αu ∈ V , ∀ u ∈ V , α ∈ K. M2α(βu) = (αβ)u, ∀ u ∈ V , ∀ α, β ∈ K. M3 (α + β)u = αu + βu, ∀ u ∈ V , ∀ α, β ∈ K. M4 α(u + v) = αu + αv, ∀ u, v ∈ V , ∀ α ∈ K. M5 ∀ u ∈ V , existe 1 ∈ K elemento identidad multiplicativo tal que 1.u = u. Observaci´n 1.1.1. o 1. Denotaremos por (V, +, ·, K) un espacio vectorial o simplemente V . 2. Los elementos de V y los elementos de K se llaman escalares. 3. Como V est´ definido sobre los...