Algebra lineal

MATERIA: ALGEBRA LINEAL

INGENIERIA INDUSTRIAL

SEMESTRE 2012 – II

INDICE GENERAL

1. ESPACIOS VECTORIALES

2.1 Definición de espacio vectorial…………………………………………………
2.2.1 Definición de base y dimensión de un espacio vectorial.
2.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales.
2.2.3 Conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuacioneslineales un ejemplo de espacio vectorial.

2.2 Definición de subespacio vectorial……………………………………………...
2.3.4 Condición necesaria y suficiente para un subconjunto de un espacio que sea un subespacio vectorial.

2.3 Concepto de combinación lineal y dependencia lineal………………………….
2.4.5 Concepto de conjunto generador de un espacio vectorial.
2.4.6 Concepto delos subespacios de dimensión finita compuesta por funciones.
2.4.7 Análisis de dependencia lineal de funciones.
2.4.8 Definición y aplicación de Wronskiano.

2.4 Concepto de base ordenada……………………………………………………..
2.5.9 Coordenadas de un vector respecto a una base ordenada y matriz de transición.
2.5.10 Concepto de Isomorfismo entre espacios vectorialesreales de una dimensión finita.

2.5 Definiciones de espacio renglón y el espacio columna de una matriz………….

2.6 Concepto de espacio vectorial de funciones…………………………………….

ESPACIOS VECTORIALES
1.1 Definición de espacio vectorial
Un espacio vectorial F es un conjunto V que consiste de tres partes:
* un conjunto (que llamaremos vectores).
* dos operaciones:suma de vectores y multiplicación por escalares.
+ : V x V V - : F x V V
Los escalares serán números en un campo y este también viene pegado al espacio vectorial. Las operaciones tendrán que satisfacer también una lista de propiedades.
Los ejemplos típicos de espacios vectoriales son Rn sobre el campo R, Cn sobre el campo C (en general, Fn sobre cualquiercampo F).
1.2.1 Definición de base y dimensión de un espacio vectorial.
Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que es linealmente independiente.
Sea B = (V1, V2, _, V3) una base de un espacio vectorial V sobre K, y sea x Є V. Si x = a1v1 + a2v2 + … + anvn; los escalares a1,a2,…, an se llaman coordenadas de x en la base B; y el vector de Kn (x)B =(a1,a2,…, an)T se llama vector de coordenadas de x en la base B.

EJERCICIOS:
a) Sean los vectores u = (-2,1), v = (0,5), w = (7,-3) vectores de R2, formar combinaciones lineales con ellos.
- Solución:

Haremos dos combinaciones lineales de estos vectores eligiendo números reales cualesquiera, ejemplo:
X = u-v + 2w = (-2,1)-(0,5)+2(7,-3) = (12,-10)
Y = -5u+0v+2w = -5(-2,1)+0(0,5)+2(7,-3)=(24,-11)
(x,y) = k1(12,-10) + k2(24,-11)
(0,0) = 12k1 – 10k1 + 24k2 – 11 k2
12k1+ 24k2 = 0
– 10k1– 11 k2 = 0
lAl= l 12 24l = -132 – 240= 108 es compatible
l-10 -11l
* Estos vectores son de dimension dos y generan una base.
b)

1.1.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales.
* (Ley de la cancelación) Si x, y, z  V y x + z = y + z,entonces x = y
* El vector 0 es único con la propiedad de que para toda x  V, x + 0 = x
* Para toda x  V, 0x = 0
* Para todo a  F y x  V, (-a)x = -(ax)
* Para toda a  F, a0 = 0
1.1.3 Conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales un ejemplo de espacio vectorial.
EJERCICIOS:
a) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogeneo.

b)Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales homogéneo:.


1.1 Definición de un subespacio vectorial.

Dados (V, K, +, . ) espacio vectorial y ScV; llamamos a S K subespacio vectorial de V si, y solo si:
S ≠ 0
S + S c S
KS c K
Lo anotamos… S c V.

1.2.1 Condición necesaria y suficiente para un subconjunto de un espacio que sea un subespacio vectorial.
Para que W sea un...