Algebra

` Problemes de selectivitat del bloc d’Algebra lineal

1. (setembre 2011 - opci´ A) Es donen les matrius A = o

0 −2 0 1 , I = i M , on M ´s una e 1 3 0 1 matriu de dues files i dues columnes que verifica M 2 = M . Obtingueu raonadament: (a) Tots els bvalors reals de k per als quals la matriu B = A − kI t´ inversa.(2 punts). e (b) La matriu inversa B −1 quan k = 3. (2 punts) (c) Les constantsreals α i β per als quals es verifica αA2 + βA = −2I. (4 punts)

(d) Comproveu raonadament que la matriu P = I − M compleix les relacions:P 2 = P i M P = P M (2 punts reparts en 1 punt cada igualtat)   1 2 1 2. (setembre 2011 - opci´ B) Es donen les matrius M =  2 1 1  i T , i se sap que T ´s una matriu o e 2 1 −1 √ quadrada de 3 files i 3 columnes i el determinant de la qual val 2. Calculeuraonadament els determinants de les seg¨ents matrius, i indiqueu expl´ u ıcitament les propietats utilitzades en el seu c`lcul: a (a)
1 2T. 4

(3 punts)

(b) M . (3 punts) (c) T · M 3 · T −1 . (4 punts) 3. (juny 2011 - opci´ A) Siga el sistema d’equacions: o   x + y + 2x + S:  x + 3y +

z 3z (m − 2)z

= m = 2m + 1 = m−1

on m ´s un par`metre real. Obtingueu raonadament: e a (a) Totesles solucions del sistema S quan m = 2. (4 punts). (b) Tots els valors de m per als quals el sistema S t´ una soluci´ unica. (2 punts) e o´ (c) El valor de m per al qual el sistema S admet la  −1 4. (juny 2011 - opci´ B) Es dona la matriu A =  0 o 2
3 soluci´ (x, y, z) = 2 , − 1 , 0 . (4 punts) o 2  0 1  on m ´s un par`metre real. m 0 e a 1 m2 − 1

(a) Obtingueu raonadament el rang ocaracter´ ıstica de la matriu A en funci´ dels valors m. (5 punts) o (b) Expliqueu per que ´s invertible la matriu A quan m = 1. (2 punts) e (c) Obtingueu raonadament la matriu inversa A−1 de A quan m = 1, i indiqueu els distints passos per a l’obtenci´ de A−1 . Comproveu que els productes A · A−1 i A−1 · A donen la matriu unitat. (3 punts) o

1

IES Enric Valor Pego   αx + α3 y + z αx + αy + z 5.(setembre 2010) Donat el sistema d’equacions lineals  3 α x + αy + z real, es demana:

Matem`tiques II 2n BAT a = 1 = 1 en qu` α ´s un par`metre e e a = 1

(a) Deduir, raonadament, per a quins valors de α ´s compatible determinat. (4 punts). e (b) Deduir, raonadament, per a quins valors de α ´s compatible indeterminat. (3 punts). e (c) Resoldre el sistema en tots els casos en qu` ´scompatible indeterminat. (3 punts). ee     x+2 4 3 y+1 4 3 6. (setembre 2010) Donades les matrius A(x) =  x + 2 6 2  B(y) =  y + 2 6 2  es demana: x+3 8 2 y+3 8 1 (a) Obtindre raonadament el valor de x per tal que el determinant de la matriu A(x) siga 6. (4 punts). (b) Calcular raonadament el determinant de la matriu 2A(x). (2 punts). (c) Demostrar que la matriu B(y) no t´ matriu inversa per a capvalor real de y. (4 punts). e 7. (juny 2010) Donades les matrius quadrades:   1 0 0 I= 0 1 0  0 0 1 es demana: (a) Calcular les matriu (A − I)2 i A(A − 2I). (4 punts). (b) Justificar raonadament que: i. Exixteixen les matrius inverses de les matrius A i A − 2I. (2punts). ii. No existeix matriu inversa de la matriu A − I. (2 punts). (c) Determinar el valor del par`metre real λ per al qual esverifica A−1 = λ(A − 2I). (2 punts). a 8. (juny 2010) Donat el sistema d’equacions lineals que dep´n e  =  2ax + by + z 3x − 2b − 2cz =  5ax − 2y + cz = , es demana: (a) Justificar raonadament que per als valors dels par`metres a = 0, b = 1 i c = 2 el sistema ´s compatible. a e (3 punts). (b) Determinar raonadament els valors dels par`metres a, b i c, per als quals es verifica que (x, y, z) = a (1,2, 3) ´s soluci´ del sistema. (4 punts). e o (c) Justificar si la soluci´ (x, y, z) = (1, 2, 3) del sistema de l’apartat b) ´s, o e   2x + 2y + (α + 1)z −x + y + z 9. (proposta 2010) Donat el sistema d’equacions lineals  αx + 2y + 3z o no, unica. (3 punts). ´ = 3 = 1 , es demana: = 3 dels par`metres a, b i c a 3c a −4b

2 A= 2 −3



 1 1 3 2  −3 −2

(a) Deduir, raonadament, per a...