Amistad

Movimiento armónico simple
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La pelota azul describe un movimiento armónico simple.
El movimiento armónico simple (se abrevia m.a.s.) es unmovimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..

Enel caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posiciónen función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste.Cinemática del movimiento armónico simple [editar]

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Posición (negro), velocidad (verde) y aceleración (rojo) de un oscilador armónico simple

Ecuación del movimiento [editar]

Elongación [editar]

En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia [pic] a la que seencuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que [pic] donde [pic] es una constante positiva y [pic] es laelongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en sentido contrario a suelongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial

(1)[pic]

Siendo [pic] la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo [pic] se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:

(2)[pic]

La solución de la ecuacióndiferencial (2) puede escribirse en la forma

(3)[pic]

donde:

[pic] es la elongación de la partícula.
[pic] es la amplitud del movimiento (elongación máxima).
[pic] es la frecuencia angular
[pic] es el tiempo.
[pic] es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como

(4)[pic], y por lo tanto el periodo como [pic]

La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión [pic].

Velocidad [editar]

La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en elapartado anterior respecto al tiempo:

(5)[pic]

Aceleración [editar]

La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:

(6)[pic]

Amplitud y fase inicial [editar]La amplitud A y la fase inicial [pic] se pueden calcular a partir de las condiciones iniciales del movimento, esto es de los valores de la elongaciónx0 y de la velocidad v0 iniciales.

(7)[pic]

(8)[pic]

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones (4a) y (4b) obtenemos

(9)[pic]Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones (4b) y (4a) obtenemos

(10)[pic]

Dinámica del movimiento armónico simple [editar]

En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida...