Area sobre la curva

Área bajo una curva

Problema propuesto en las pruebas de Selectividad de Madrid. España.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales.
a) Hallar las coordenadas del mínimo de la curva y=x2-4x-5b) Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los puntos de intersección de dicha curva con el eje OX.

Primera parte del Problema

1.- Limpiamoslas variables almacenadas en la Classpad con la orden Clear_a_z
Definimos y1(x) como la función dada. Hacemos ésto porque de esta forma queda automáticamente definida la función en la parte degráficos y tablas de la Classpad y queda lista para poder ser representada.

2.- Recordamos que para que una función tenga un mínimo en un punto, la derivada en ese punto tiene que ser cero (repasa lainterpretación geométrica de la derivada en Calcumat). Por lo tanto, se trata de ver que valores anulan la primera derivada de y1(x).
Puedes observar en la captura superior que he usado la orden solvepara averiguar esos valores:

solve(diff(y1(x),x)=0,x)

Con la orden expuesta encuentro que el valor que anula la primera derivada de y1(x) es x=2.
Para comprobar si en x=2 hay un máximo o unmínimo tengo que mirar la segunda derivada de y1(x).
Si el valor de la segunda derivada en x=2 es mayor que cero, estaremos ante un mínimo, si es menor que cero será un máximo (si fuese cero podríatratarse de un punto de inflexión).

En la captura superior vemos que la segunda derivada de y1(x) es siempre positiva, por lo tanto en x=2 hay un mínimo de y1(x). Para encontrar la ordenada de x=2,simplemente escribo y1(2).

El valor pedido para el mínimo es (2,-9)

Comprobación gráfica

3.- Como ya tenemos definida y1(x), la representamos (con la opción Zoom puedes controlar la ventana  parauna correcta visualización de la gráfica). Con la opción Analysis->G-Solve->Min le decimos que busque el mínimo de y1(x) y comprobamos los resultados obtenidos analíticamente.

Segunda...