Calculo variacional

C´lculo de variaciones a

Luis O. Silva

Universidad Nacional Aut´noma de o M´xico e

Cd. Universitaria 2008

c Luis O. Silva 4 de febrero de 2009 A Typesetting L TEX 2ε

´ Indice general
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Notaci´n y nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Supremo, ´ınfimo, m´ximo y m´ a ınimo . . . . . . . . . . . . . . . . Convexidad de conjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . Minimizaci´n de funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . o Espacios de funciones y funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . Funcionales convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Minimizaci´n de funcionales convexos . . . . . . . . . . . . . . . oMinimizaci´n de funcionales convexos bajo condiciones convexas o Extremos locales de funciones reales de variable real . . . . . . . Espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compacidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 6 8 1114 19 34 41 42 42 44 48

1. Introducci´n o
1.1. El c´lculo de variaciones o c´lculo variacional es una rama cl´sica y fundaa a a mental de las matem´ticas. No es una exageraci´n afirmar que el desarrollo de esta a o rama de las matem´ticas ha ido a la par con el desarrollo de los conceptos centrales a del an´lisis matem´tico y sus aplicaciones. En lo que respecta a las aplicaciones, a a muchosde los conceptos centrales de la f´ ısica te´rica est´n en estrecha relaci´n con o a o el c´lculo variacional. a 1.2. Las ra´ del c´lculo variacional se extienden a tiempos anteriores a la Grecia ıces a cl´sica. Uno de los problemas m´s antiguos del c´lculo variacional, y de las maa a a tem´ticas en general, es el problema isoperim´trico. Este problema est´ relacionado a e a con la legendaria Didofundadora de la ciudad fenicia de Cartago (buena parte de la leyenda de Dido se encuentra en la Eneida de Virgilio, aunque por otras fuentes se sabe que fue un personaje hist´rico). Cuenta la leyenda que Dido y un grupo de o seguidores llegaron a las costas de lo que ahora es T´nez y solicitaron un pedazo u de tierra a los habitantes locales. Dido pidi´ la tierra que pueda se encerrada por o 34

Introducci´n o

la piel de un toro. Desde luego la petici´n no parec´ muy ambiciosa as´ que le fue o ıa ı esto concedido. Dido corto la piel en tiras muy delgadas formando as´ un cuerda ı muy larga. Utiliz´ entonces esta cuerda para rodear un extensi´n de tierra en la o o costa que pas´ a convertirse en la ciudad de Cartago. Independientemente de la o veracidad de la leyenda no es dif´aceptar que el problema de abarcar la mayor ıcil area posible dada una cuerda de longitud fija apareci´ hace mucho tiempo en la ´ o historia. El fil´sofo Zenodoros (200 a.n.e.) plante´ de manera precisa ´ste y otros o o e problemas matem´ticos relacionados con encontrar figuras “´ptimas”, que hoy poa o demos considerar problemas cl´sicos del c´lculo variacional. Hay otros problemas a a cl´sicos que sonparte del c´lculo de variaciones que fueron planteados y estudiados a a por Arist´teles y Pappus. o

1.3. Hasta aqu´ hemos hablado de problemas de c´lculo variacional, pero no hemos ı a definido esta rama de las matem´ticas. De hecho no lo haremos ahora sino que a postergaremos la definici´n del c´lculo de variaciones hasta el par´grafo lll. Esto o a a no nos impide notar que en los problemas dec´lculo de variaciones siempre se a requiere encontrar curvas, figuras, procesos, “´ptimos”. o

1.4. Se le atribuye a Pierre de Fermat, matem´tico franc´s del siglo XVII, el prina e cipio f´ ısico de tiempo m´ ınimo, el cu´l establece que la trayectoria que toma la luz a entre dos puntos es la trayectoria que puede ser recorrida en el menor tiempo. Este principio est´ relacionado con el...