Calculo vectorial

Universidad del Caribe Departamento de Ciencias Básicas e Ingenierías
II0218. Cálculo Vectorial Tarea 004
Prof.: Dr. Víctor Manuel Romero Medina

Tarea 005(Seccion 5.5)
Equipo 01
Matrícula 090300024 090300036 090300025 xxxxxxxxx Seccion 5.5 En los ejercicios 1,3, efectuar la integración indicada en la caja dada. ZZZ 1.x2 dxdydz; B = [0; 1] [0; 1] [0; 1] La Z Z queda de la siguiente forma: Z1 integral con limites Z 1 Z 1 Z 1 1 1 x2 dxdydz = x2 dx dy dz
0 0 0 0 0 0 B

Nombre del Estudiante Moo Valle Ricky Omar Castillo Chim Edwin Aaron Santos Ramirez Juan Carlos xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

3.-

Observando la caja dada podemos ver que los límites de las integrales quedan: Z Z Z 1 1 2 Z 1 Z 1 Z 2 (2x + 3y + z) dxdydz = (2x + 3y + z) dx dy dz
0 1 0 0 1 0

Primero integraremosy evaluaremos con respecto a Z 1 1 13 03 1 x3 = = x2 dx = 3 0 3 3 3 0 Ahora calcularemos la integral con respecto a y Z 1 Z 1 1 1 1 1 1 evaluamos dy = (1) dy = y 3 0 3 0 3 0 3 Por ultimo caculamos la integral con respecto a z Z 1 Z 1 1 1 1 1 1 dz = z dz = evaluando (1) 3 3 0 3 0 3 0 ZZZ (2x + 3y + z) dxdydz; B = [0; 2] [ 1; 1]
B

x

1 1 (0) = 3 3 1 1 (0) = 3 3

[0; 1]

Calculando laintegral con respecto a x considerando a las otras variables constantes

1

Z 2 Z 2 Z 2 2 2x2 (2x + 3y + z) dx = 2 xdx+3y dx+z dx = + 3yx + zx = 2 0 0 ! 0 0 0 ! 2 2 2 (2) 2 (0) + 3y (2) + z (2) + 3y (0) + z (0) ) 2 2 ) 4 + 6y + 2z Calculando seguidamente la integral con respecto a y Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 1 6 dy = 4y + y 2 + 2zy ydy+2z dy+6 = (4 + 6y + 2z) dy = 4 2 1 1 1 1 1 6 6 2 2 4 (1) + (1) + 2z (1)4 ( 1) + ( 1) + 2z ( 1) 2 2 ) 4 + 3 + 2z + 4 3 + 2z = 4z + 8 Por ultimo calculando la integral con respecto a z Z 1 Z 1 Z 1 1 4 4 2 (1) + 8 (1) (4z + 8) dz = 4 zdz+8 dz = z 2 + 8z = 2 2 0 0 0 0 4 2 (0) + 8 (0) = 2 + 8 = 10 2 En el ejercicio 5, describir la region dada como una región elemenZ
2

tal.

p 5.-La region que esta entre el cono z = x2 + y 2 y el paraboloide z = x2 + y 2 p La regiónque está entre el cono z = x2 + y 2 y el paraboloide z = x2 + y 2 Las p gra…cas que representan las funciones son las siguientes: z = x2 + y 2
6

z
4

4 2 20 0 0 -2 -2 4

2 -4

-4

y

x
p x2 + y 2

Gra…ca representativa de z = z = x2 + y 2

2

40

z
-4 -2

20 4 2 0 0 0 2 -2

x -4

y

4

Grá…ca representativa de z = x2 + y 2 La región elemental que esta entre elcono si imaginamos un poco el cruze de las 2 funciones con el cono dirigido hacia arriba del eje z y la funcion del paraboloide z = x2 + y 2 por encima y la 2da función por debajo entonces podemos imaginarnos la región elemental en el cruze ambas. Para poder encontrar la coordenada y se debe realizar lo siguiente: Si z = c entonces: De esta manera primero reescribiremos la 1ra función paraboloidez = x2 + y 2 = c Si despejamos y obtenemos: p x2 + y 2 = c ! y 2 = c x2 ! y = c x2 Ahora se reescribira la 2da función paraboloide p z = x2 + y 2 ! c2 = x2 + y 2 Si despejamos esta expresión nos queda: p c2 = x2 + y 2 ! y 2 = c2 x2 ! y = c2 x2 Entonces si queremos conocer el valor de c igualamos y de la 1ra función con la de la 2da y resolvemosp sistema de ecuaciones para encontrar el valor: el pc2 x2 = c x2 Elevando todo al cuadrado c2 x2 = c x2 ! c2 c = x2 + x2 ! c2 c = 0 Factorizando c ya que como esta elevado al cuadrado debe tener 2 raices entonces: c (c 1) = 0 c1 = 0 c2 = 1 Por lo tanto la coordenada de y = 1, la coordenada de x = 0 porque se encuentra en el origen y la coordenada en z = 1 porque al ser y = 1, y indica el valor del radio por lo tanto z = 1 De esta debidop loanalizado y comprobado anteriormente se tiene: a x2 + y 2 x2p y 2 z + p 2 1+y x 1 + y2 1 y 1 Calcular la integral

3

13.-

Realizando la integral con respecto a x considerando a las otras constantes Z Z 3 1 3 1 cos [ (x + y + z)] dx = cos [ (x + y + z)] dx = sin [ (x + y + z)]
2 2

Z 1Z 2Z
0 1

3

cos [ (x + y + z)] dxdydz =

2

Z

1

0

Z

2

1

Z

3

cos [ (x + y +...