Circuitos resonantes

PRÁCTICA Nº5: CIRCUITOS RESONANTES. CARACTERÍSTICAS I(ω) y Φ(ω)
Objetivos: utilización del osciloscopio para estudiar las características de dos circuitos resonantes (uno en serie y otro en paralelo). Material: osciloscopio, polímetro, generador de baja frecuencia y componentes RLC. 1. CARACTERÍSTICAS DE UN CIRCUITO RLC SERIE Al mencionar las características de un circuito resonante, como porejemplo un circuito RLC serie, normalmente uno se refiere a la dependencia con la frecuencia de la corriente y a las diferencias de potencial en sus componentes. En el caso de un circuito RLC serie, como el indicado en la figura 1, lo más usual es estudiar la dependencia de la corriente I con la frecuencia angular del generador ω. Esta corriente vendrá dada por la expresión: I=

ε
R + j(Lω 1 ) Cω(1)

Cuya amplitud |I| y fase Φ vendrán dadas por (ver figura 2): |I| = |ε| 1 ⎞2 ⎛ R2 + ⎜Lω ⎟ Cω⎠ ⎝ 1 Lw - Cw R (2)

tg Φ = -

(3)

donde hemos tomado el origen de fases en la fuerza electromotriz del generador, es decir, ε = |ε|ej0.

canal II

ε

~

Bobina C R

Canal I

Figura 1. Circuito resonante serie RLC 35

|I| I max I max √2

Φ δω π 4 π 4 ωR ω δω ω

R

ω(a) (b) Figura 2. Características de un circuito resonante serie RLC: (a) Módulo de la corriente, (b) Fase de la corriente. Se define la frecuencia de resonancia ωR como aquella frecuencia para la cual el desfase sea cero, por lo que en nuestro caso (ver figura 2b):

ωR=

1 LC

(4)

Observemos que cuando ω=ωR, |I| tendrá su valor máximo, tal y como la figura 2a representa de formaesquemática. Una característica que se busca en los circuitos resonantes es que ese máximo de corriente sea lo más agudo posible, lo que permite desarrollar ciertas aplicaciones prácticas de los circuitos RLC, como por ejemplo filtros de frecuencia. Para medir esa característica se define el factor de calidad Q como 2π por el cociente entre la energía almacenada y la energía disipada en un ciclo. Estadefinición es aplicable a todo tipo de sistema resonante, ya sea mecánico, electromagnético, etc. En el caso de un circuito RLC serie, otra definición de Q equivalente y de interpretación más directa es: Q=

ωR δω

(5)

donde δω es la anchura del pico de resonancia medida, o bien en la gráfica de |I|en función de ω (figura 2a) en los puntos en los que la corriente se atenúa un factor 2 respectoa su valor máximo, o bien medida en la gráfica de Φ en función de ω (figura 2b) en los puntos en los que |Φ| toma el valor π/4. El valor de Q en función de los componentes RLC de acuerdo con las definiciones anteriores viene dado por:

Q=

ωR L 1 L = R R C

(6)

36

Otro circuito resonante muy empleado es el circuito RLC paralelo, que en cierto modo tiene propiedades complementariasrespecto del RLC serie. La figura 3 es el esquema del circuito que vamos a estudiar, cuyas ecuaciones teóricas pueden deducirse análogamente a las deducidas anteriormente para el circuito serie. Sin embargo, a diferencia del caso anterior, hay que considerar la resistencia de la bobina RB. Si no la consideramos, el factor de calidad de la resonancia sería ∞, ya que no se disiparía energía en elcircuito (la impedancia del paralelo bobina-condensador, ZBC sería ∞ en la resonancia, y por tanto no pasaría corriente por R). El cálculo exacto es bastante complicado, pero podemos obtener relaciones sencillas, si tenemos en cuenta las aproximaciones: RBR. Con estas consideraciones se puede obtener:

C 1 ⎞ ⎛ I=ε R 2 + ⎜ Lω − ⎟ B L Cω ⎠ ⎝

2

(7)

tgΦ =

Lω −

1 Cω

RB

(8)

En estecaso el factor de calidad viene dado por:

Q=

ωR 1 = δω R B

L C

(9)

Bobina

canal II

ε

~

C R

Canal I

Figura 3. Circuito resonante paralelo

2. CARACTERÍSTICAS DEL CIRCUITO RESONANTE SERIE RLC 2.1. MEDIDA DE |I|EN FUNCIÓN DE ω Montar el circuito de la figura 1 y conectar los canales del osciloscopio tal y como se indica. Recordar que la malla exterior de los...