Coordenadas cilindricas

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UACJ

ENTREGA DE PROYECTO FINAL

Definición

Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje [pic]), perpendicular al plano [pic], como sigue:
• La coordenada radial, [pic], es la distancia (en valor absoluto) del punto [pic]al eje [pic].
• La coordenada acimutal, [pic],es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano [pic]forma con el eje [pic].
• La coordenada vertical, [pic], es la distancia (con signo) al plano [pic].

Los rangos de variación de estas coordenadas son:

[pic]

El ángulo [pic]también puede variar en el intervalo [0,2π).

ρ es siempre una cantidad positiva

[pic]

A diferencia de las distancias encartesianas, que tienen un signo indicando a qué lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilíndrica es siempre positiva.

Si nos encontramos en un punto y, sin cambiar [pic]ni [pic], vamos reduciendo ρ lo que hacemos es acercarnos al eje [pic]en línea recta. ¿Qué ocurre cuando atravesamos el eje? Que a partir de ahí [pic]vuelve a aumentar, pero [pic]cambia a [pic]o a [pic].Discos duros

La ubicación de los datos en los discos duros mediante el sistema CHS se realiza indicando tres cantidades: el cilindro (C), la cabeza (H) y el sector (S). Para ver qué tiene que ver esto con las coordenadas cilíndricas conviene describir cómo son los discos duros.

Un disco duro en realidad es una pila de discos (por ejemplo, 4 discos) separados una distancia fija ygrabados por sus dos caras. A cada lado de cada disco hay una cabeza lectora/escritora identificado por el número H, que equivale a la coordenada cilíndrica [pic].

La distancia al eje de cada disco la da el número C, ya que un cilindro lo constituyen los puntos a la misma distancia del eje, en los distintos discos. Por tanto, C equivale a la coordenada radial [pic].

Por último, dadosla cabeza y el cilindro, la posición a lo largo de una circunferencia (lo que se denomina una pista) se indica mediante el sector S, que corresponde a la coordenada cilíndrica [pic].

Grúas

[pic]

Uno de los ejemplos más sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo proporcionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar el ángulo de giro de la flecha(el brazo de la grúa), dado por [pic], la altura a la que se sube la carga ([pic]), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha ([pic]).

El Sistema De Coordenadas Cilíndricas

Como ya se estuvo comentando, en un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z).

1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobreel plano x y.

2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө).
Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión.

Cilíndricas a rectangulares.

X = r cos ө, y = r sen ө, z = z

Rectangulares a cilindricas:

R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z.

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representaciónde un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas.

Tenemos un cilindro circular imaginario con eje del cilindro sobre uno de los ejes, en este caso el eje z.
Sea [pic] la distancia del origen al punto (x,y,z) y [pic]el ángulo formado entre el eje X y la proyección, P´, del punto P

Por lo que podemos definir:
[pic]
La coordenada z al estar asociada con laaltura del cilindro no cambia

Observemos que se forma el triángulo rectángulo entre los puntos A, P´ y el origen por lo que observamos [pic] es la hipotenusa del triángulo, además que la hipotenusa del triángulo rectángulo es [pic] y que del teorema de Pitágoras tenemos: y el ángulo puede quedar determinado, si conocemos x y y, de esa forma:
 

COORDENADAS ESFERICAS

Definición...
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