Coordenadas polares

* -------y SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

OBJETIVOS:

Al finalizar esta presentación el alumno será capaz de:

* Situar puntos en un sistema polar y, viceversa, hallar las coordinadas polares de puntos en el plano.
* Identificar y trazar cardioides, caracoles, rosáceas y lenniscatas
* Transformar ecuaciones polars en cartesianas y viceversa
* Calcular áreas de regioneslimitadas por curvas dadas en coordenadas polares.

INTRODUCCION:

En esta presentación se introducen las coordenadas polares y algunos ejemplos que ilustran su utilidad para representar, mediante ecuaciones con estas coordenadas, algunas curvas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli, los Lazos, las Cónicas y algunas espirales.
Como se puede observar en las escenas derepresentación de las curvas, para la representación en coordenadas polares, sólo es preciso definir las coordenadas de cada punto: r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coordenadas cartesianas x e y.
Luego basta escribir la ecuación de cada curva utilizando las coordenadas r y t.

COORDENADAS POLARES

Un sistema de coordenadas en el plano nos permite asociar un par denúmeros con cada punto del plano. Hasta ahora hemos considerado exclusivamente sistemas de coordenadas cartesianas rectangulares para localizar un punto en el plano, por medio de un par de puntos. En este sistema, las coordenadas son números dirigidos desde dos rectas fijas (perpendiculares) llamados ejes. Sin embargo debe tenerse presente que existen otros sistemas que pueden ser utilizadas.A continuación discutimos otro sistema conveniente de coordenadas en el plano, el de las coordenadas polares, que probablemente sea el siguiente en importancia al sistema de coordenadas cartesianas.

Comencemos por fijar un punto O en el plano, llamado polo, y la mitad positiva de una recta de coordenadas (semi-recta) al cual designamos con el nombre de “Eje Polar” con extremos en O.La existencia del eje polar hace posible designar una longitud a cada segmento recto del plano.

Ahora para ubicar un punto en el plano, ya no por sus coordenadas respecto a dos ejes perpendiculares si no por sus coordenadas polares podemos proceder de la siguiente manera:
Trazamos una recta entre el punto y el origen determinan nuestro punto. Así, pues, el punto se describe por unpar de números (r, ) que constituyen sus coordenadas polares.

P (r,)
π/2 y

X

H
O

Cambio de sistemas de coordinadas
En OHP:
i) OH = OP cos θ → x = r cos θ
ii) HP = OP sen θ → x = r sen θ ……(1)
iii) Tg θ = y/x → θ = tg-1 (x/y) …..(2)

De (1) y (2) apreciamos que si tenemos nuestros ejes usuales y x e y son las coordenadas ordinarias de nuestropunto, entonces las relaciones dadas nos permite de coordenadas polares a coordenadas ordinarias y viceversa haciendo uso de las relaciones (1) y (2) respectivamente.

Ejemplos:

1) Cambiar la ecuación: a coordenadas rectangulares.

2) Graficar la ecuación polar: r (sen - 2 cos ) = 2, expresando previamente coordenadas rectangulares.
3) Hallar la ecuación de x2 + y2 – 4x= 0Según costumbre, mediremos los ángulos en radianes. En la figura hemos representado un rango que comienza en el origen y que forma un ángulo con la parte positiva del eje de las X. el rayo opuesto forma un ángulo + n.

A cada punto P del plano asignaremos ahora coordenadas (r,), el cual se encuentra a una distancia /r/ del origen y θ es la medida de un ángulo cuyo lado inicial está sobre eleje polar y lado terminal contiene a . Ha de entenderse que r siempre se supone > 0 puesto que en términos de las coordenadas ordinarias, tenemos que: r= . También se permitirán coordenadas (-r, ) para representar el punto P (r, ) y OP= r y Es la medida de un {ángulo cuyo lado inicial está sobre el eje polar y lado terminal sobre la semirrecta determinada por θ y opuesta a .

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