Distribucion normal

Propiedades
Algunas propiedades de la distribución normal son:
1. Es simétrica respecto de su media, μ;

Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N(μ, σ).
2. La moda y la mediana son ambas iguales a la media, μ;
3. Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = μ − σ y x = μ + σ.
4. Distribución de probabilidad en un entorno de la media:
1. en elintervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;
2. en el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;
3. por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos deconfianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.
5. Si X ~ N(μ, σ2) y a y b son números reales, entonces (aX + b) ~ N(aμ+b, a2σ2).
6. Si X ~ N(μx, σx2) e Y ~ N(μy, σy2) son variables aleatorias normales independientes,entonces:
o Su suma está normalmente distribuida con U = X + Y ~ N(μx + μy, σx2 + σy2) (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).
o Su diferencia está normalmente distribuida con .
o Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí.
o La [[divergencia deKullback-Leibler,
7. Si e son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:
o Su producto XY sigue una distribución con densidad p dada por
donde K0 es una función de Bessel modificada de segundo tipo.
o Su cociente sigue una distribución de Cauchy con X / Y˜Cauchy(0,σX / σY). De este modo la distribución de Cauchy es un tipo especial de distribución cociente.8. Si son variables normales estándar independientes, entonces sigue una distribución χ² con n grados de libertad.
9. Si son variables normales estándar independientes, entonces la media muestral y la varianza muestral son independientes. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué el test-F no es robusto respecto a la no-normalidad).Estandarización de variables aleatorias normales
Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar.
Si X ~ N(μ,σ2), entonces

es una variable aleatoria normal estándar: Z ~ N(0,1).
La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de una distribución normal es, por consiguiente,

A la inversa, si Z es una distribución normal estándar, Z ~ N(0,1), entonces
X = σZ + μ
es una variable aleatoria normal tipificada de media μ y varianza σ2.
La distribución normal estándar está tabulada (habitualmente en la forma de el valor de la función de distribuciónΦ) y las otras distribuciones normales pueden obtenerse como transformaciones simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. De este modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normal estándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otra distribución normal.
Momentos
Los primeros momentos de la distribución normal son:Número Momento Momento central Cumulante
0 1 1
1 μ 0 μ
2 μ2 + σ2 σ2 σ2
3 μ3 / 3μσ2 0 0
4 μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4 3σ4 0
5 μ5 / 10μ3σ2 + 15μσ4 0 0
6 μ6 + 15μ4σ2 + 45μ2σ4 + 15σ6 15σ6 0
7 μ7 / 21μ5σ2 + 105μ3σ4 + 105μσ6 0 0
8 μ8 + 28μ6σ2 + 210μ4σ4 + 420μ2σ6 * 105σ8 105σ8 0
Todos los cumulantes de la distribución normal, más allá del segundo, son cero.

Los momentos centrales de orden superior...