ECUACION DIFERENCIAL DE BESSEL 2

ECUACION DIFERENCIAL DE BESSEL:
x2 y + x y +(x2 - 2) y = 0,   0 (# real), x0 = 0 (singular regular)
y = xr

n 

n 

 anxn =

a

n 0
n 

y =

 (n  r) a

n

[1]

x n r (Frobenius),n 0

n

x n  r-1 ,

n 0
n 

y =

 (n  r)(n  r - 1) a

n

x n  r -2

n 0

Sustituyendo en [1],
n 

n 

 (n  r)(n  r - 1) a
n 0

n

n 

x n  r +  (n  r) a n x n r +
n 0

n a

n

n 0

x n  r2 -  2 a n x n  r = 0
n 0

Fusionando de las dos primeras y la cuarta:
n 

n 

 [(n  r)(n  r - 1)  (n  r) - 2 ] a n x nr +

a

n 0

n 

n 

 [(n  r) 2 - 2] a n x nr +

a

n 0

n

n

x n  r2 = 0

n 0

x n  r2 = 0

n 0

Corrimiento de índice n  n+2 en la primera y llevándolas a comenzar con n = 0:
n 

n 

 [(n  2  r)

n 2

2

-  2 ]a n x n r 2 +

a

n

x n  r2 = 0 

n 0

n 

(r2 - 2) a0 xr + [(r+1)2 - 2] a1 xr+1 +

 {[(n  r  2)

2

-  2 ] a n 2  a n } x n  r 2 = 0 

n 0

Para que se satisfaga la ecuacióndiferencial, entonces:
1) (r2 - 2) = 0 (ecuación indicial)  {r1 =  , r2 = -}
2) a1 = 0

3) {[(n  r  2)2 - 2 ] a n2  a n  0  a n 2  

fórmula

an
 0, n  0 

2
2
[(n  r  2) - ]
derecurrencia 

Haciendo el cambio n  n-2 en la (3):
an  

fórmula

a n-2
 0, n  2 

(n  r   )((n  r   )
de recurrencia 
1

[2]

Se comprueba que los coeficientes con subíndicesimpares se anulan (a1 = 0, a3 = 0, a5 = 0, …) y
con la expresión [2] se obtiene una formula de recurrencia para los coeficientes con subíndices
pares con el cambio n  2n:

a 2n  


fórmula

a 2n-2
0, n  1 

(2n  r   )(2n  r   )
de recurrencia 

r1 =  :

a 2n  

fórmula

a 2n -2
 0, n  1 

(2n  2  )(2n)
de recurrencia 

n=1  a2 = - a0 /[22(1+)]
n=2  a4 = + a0 /[24 2!(1+)(2+)]
n=3  a6 = - a0 /[26 3! (1+)(2+)((3+)]
(…) Generalizando:
a2n = (-1)n a0 / [22n n! (1+)(2+)(3+) … (n+)]

Función gamma:
(x + 1) = x (x)

[3]



(x)   t x1 e t dt  (1) = 1...