Ecuaciones diferenciales de primer orden

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Conceptos Basicos y Consideraciones Geometricas
1. QUE SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES: Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llamaordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial .
2. QUE ES ORDEN: Se llama orden de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden. Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma, es decir : Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene lavariable independiente. Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
3. AQUE SE LE LLAMA GRADO: Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
4. CLASIFICACION DEL TIPO DE GRADO Y ORDEN:
a) Una ecuación de segundo grado o ecuacióncuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica : .
b) Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1.Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica :
c)Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden :
d) Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden :
e) Es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden :
5. SOLUCION PARTICULAR: Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular.
6. SOLUCION GENERA: Si la solución de unaecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial
7. INTERPRETACION GEOMETRICA: Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran una expresión algebraica tal que pueda eventualmente permitir el despeje de la primera derivada de la variable dependiente, contamos con una interpretación geométricamuy útil: la pendiente de la recta tangente a la curva solución.
8. TRAYECTORIAS ORTOGONALES: En ingeniería se presenta amenudeo el problema geométrico de encontrar una familia de curvas (trayectorias ortogonal es) que intersequen ortogonalmente a cada punto a una familia dada de curvas. Por ejemplo es posible que se den las líneas de fuerza y se pida obtener la ecuación de las líneasequipotenciales.
9. EXISTENCIA Y UNIDAD: Sea dada una ecuación diferencial donde la función está definida en un recinto D del plano X o Y que contiene el punto, Si la función satisface a las condiciones : es una función continua de dos variables x e y, en el recinto D; admite derivada parcial continua con respecto de x e y en el recinto D, entonces, existe una, y sólo una, solución de la ecuacióndada que satisface a la condición. La condición se llama condición inicial. El problema de la búsqueda de la solución de la ecuación que satisface la condición inicial, lleva el nombre de Cauchy. Geométricamente esto significa que se busca la curva integral que pasa por el punto dado del plano X o Y.

10. CAMPO DIRECCIONAL: La terna (x, y, y´) determina la dirección de una recta que pasa porel punto (x , y) el conjunto de estos dos segmentos de esta recta es la representación geométrica del campo direccional. Se puede resolver una ecuación diferencial trazando el campo direccional, en donde, para cada curva de la familia solución la tangente en cada uno de sus puntos tiene la misma dirección qué el campo en ese punto.












Ecuaciones Separables y Ecuaciones...
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