Espacios vectoriales

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Capítulo III Espacios vectoriales.

Introducción Espacios vectoriales Reglas (axiomas) de un espacio vectorial Subespacio vectorial Independencia lineal Bases y dimensión Producto interno de vectores y norma de un vector Distancia, ángulo y ortogonalidad entre vectores Producto vectorial Bases ortonormales Proyección y el proceso de Gram-Schmidt. Tareas del grupo Tareas del sitio Ejerciciosresueltos

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Capítulo III Espacios vectoriales. AGM Apuntes de álgebra lineal grupo 8181 Capítulo III. Espacios vectoriales Objetivo Enseñar al alumno los conceptos de espacio vectorial, propiedades de un espacio vectorial, subespacios, producto interno, norma, distancia, ángulo y ortogonalidad de vectores, producto cruz entre vectores, basesortonormales, el teorema proyección y el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt, nomenclaturas y notaciones asociadas al estudio de estos temas. Introducción En los capítulos I y II de estos apuntes hemos estudiado algunos conceptos y definiciones que pueden ser utilizados para la solución de problemas relacionados con problemas reales de la práctica profesional. Cualquier alumno de la clase puedeidentificar en su posible actividad laboral presente o futura nuestro problema inicial de estudio, simple en éste caso, pero real, presentado en el capítulo I. Uno de los objetivos del estudio del álgebra lineal para las profesiones del área de estudio a la que pertenecemos, es aportar herramientas poderosas que permitan brindar al alumno la capacidad de abstracción que requiere un análisis másprofundo de los problemas a los que se puede enfrentar en su práctica cotidiana. En el pasado se nos ha presentado, desde la primaria hasta la preparatoria, una serie de conocimientos y métodos que son un subconjunto del conocimiento y de las alternativas existentes en un universo más amplio y muy estudiando, cualquiera que sea éste campo, y que pertenecen a diferentes campos de la ciencia, en nuestrocaso particular al de la matemática. Por cuestiones del método de enseñanza o por limitaciones del entorno, experiencia o contacto con la problemática real, nos hemos acostumbrado a ver a la educación en matemáticas como algo muy limitado y hasta cierto punto inconexo, sin embargo la realidad es otra. Una oportunidad de darnos cuenta de lo anterior lo representan los conceptos y las formas queabordaremos a lo largo del estudio de éste capítulo de la materia de álgebra lineal. Así que para no perder la costumbre procedamos a retomar nuevamente el problema que de inicio nos ha servido como entrada a la materia. Consideremos entonces la representación matricial del sistema de ecuaciones lineales planteado como se indicó en el capítulo II y que se muestra a continuación:

Representaciónmatricial del sistema de ecuaciones del problema1 del capítulo I.

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Capítulo III Espacios vectoriales. AGM Apuntes de álgebra lineal grupo 8181 También retomaré las representaciones del sistema, a través de las matrices escalonada y escalonada reducida que obtuvimos mediante el método de Gauss en el capítulo I de estos apuntes, ambas se muestran a continuación:

Matriz escalonada ( otriangular superior) obtenida por el método de Gauss, p1 capítulo I.

Matriz reducida (o diagonal) obtenida por el método de Gauss, problema 1 capítulo I. Lo relevante de tener presentes estas tres representaciones matriciales (1), (2), (3) del sistema de ecuaciones de nuestra problema 1 es lo siguiente: las tres representaciones nos muestran un mismo problema. Algo sumamente interesante a preguntarnospodría ser: ¿porqué no nos planteamos la ecuación (3) desde un principio y nos quitamos de problemas? La realidad es que tomar éste camino desde un principio es casi imposible en la mayoría de los casos prácticos. Pero algo que también es importante de notar es el hecho de que de una representación podemos pasar a las otras, es decir, de (1) a (3), de (1) a (2), de (2) a (3) y viceversa, y todas...
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