Espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

4.1 DEFINION DE ESPACIO VECTORIAL
Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra llamada multiplicación de un escalarpor un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o función que asocia a dos vectores, digamos u y v un tercer vector, a este se le representará como u ⊕ v. La multiplicación esuna regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos c y u un segundo vector representado por c ⊙ u.
Este artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto deespacio vectorial.
En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos delconjunto) y una operación externa (llamada producto, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espaciovectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo.
Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dosoperaciones:

Con la operación interna tal que:
1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tengaelemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

EJEMPLOS DE ESPACIO VECTORIA

1.- Determinar el valor de x para que el vector (1; x; 5) ∈ R3 pertenezca al subespacio < (1; 2;3); (1; 1; 1) >.
Soluci_on. (1; x; 5) pertenece al subespacio < (1; 2; 3); (1; 1; 1) > si y s_olo si (1; x; 5) es combinaci_on
lineal de (1; 2; 3) y (1; 1; 1), o sea, si existen _; _ ∈ Rtales que
(1; x; 5) = _(1; 2; 3) + _(1; 1; 1);
Pero entonces,
1 = _ + _
x = 2_ + _
5 = 3_ + _
y resolviendo el sistema anterior, tenemos _ = 2; _ = −1 y x = 3.

2.- Calcular bases de los...