FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA
FUNCION EXPONENCIAL.
Ejemplos de Función Exponencial.
Ejemplo No 1:
Dibujemos la gráfica de la función ( )
se traza la gráfica de la misma forma
como lo hemos hecho con otras funciones, damos algunos valores a la variable x y se
calcula el valor de para esos valores dados. Así:
Fig.1

x
-5
-2
0
1
3
6

=2

A medida que x se hace más grande, ( ) crece másrápidamente.
A medida que x se hace más pequeña, ( ) tiende a cero, pero nunca alcanza este
valor.
La grafica de ( )

es la de la figura 1.

Ing. Sandra Patricia Jiménez G.

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Ejemplo No 2:
Dibujemos la gráfica de la función ( )
se traza la gráfica de la misma forma
como lo hicimos con la función anterior, damos algunos valores a la variable x y se
calcula el valor de
paraesos valores dados. Vamos a observar en la función un
( )
comportamiento particular. OJO: La ( )
( )
Fig. No 2
x
-5
-2
0
1
3
6

=- 2

La grafica de ( )

es la de la figura 2.

Se puede determinar que esta función es la Inversa de la
siguiente gráfica.

( )

en la

Ing. Sandra Patricia Jiménez G.

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Ejemplo No 3:
Calculemos la función exponencial de la forma ( )
a.(0, 2) , (-1, 8)
Primero buscamos una función de la forma ( )
tenemos, encontraremos las constantes a y c:
( )
(

que pasa por:

. Al remplazar los valores que

Sabemos que: cuando
)

Sabemos que: cuando

De donde concluimos que:
Por tanto:
( )

( )

( )

b. (1,-2) , (2, -4)
Ing. Sandra Patricia Jiménez G.

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En forma similar remplazamos los valores para los puntosdados.
( )

Sabemos que: cuando

( )

Sabemos que: cuando

Dividiendo estos valores obtenemos:

( )
( )

.

Remplazando en cualquiera de las anteriores expresiones obtenemos:
( )
( )
Sabemos que la función evaluada en 2, es igual a -4 entonces se obtiene:
( )
Despejamos c:
( )

(

)

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.
Algunas de sus aplicaciones están relacionadas con el dinero.Usualmente al abrir una
cuenta bancaria nos dicen que nuestro dinero ganará un interés anual del r% sobre
el capital con el que iniciamos nuestra cuenta bancaria
. Al finalizar el primer
año, deducimos que el balance de la cuenta es igual a:
(

)

Si ese dinero se deja en el banco, al finalizar el segundo año tendremos:
(
(

Sabemos que
(

)

) Remplazando obtenemos:
)

(

)(

)

(

)

Si continuamos deesta forma vemos que después de “n” años de invertir
un interés del r% se tendrá una cantidad igual a:
(

Además, que la sucesión

a

)

Es un sucesión geométrica de razón.
Ing. Sandra Patricia Jiménez G.

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(
(

)
)

(

)

Este tipo de interés se conoce como INTERES COMPUESTO y es un caso especial
de funciones exponenciales.
EJEMPLO: Si el abuelo de Fernandodeposito $100 en su cuenta de ahorros en 1915,
aun interés compuesto del 3%anual, y nunca retiró ese dinero del banco. ¿Cuánto
tiene el abuelo en su cuenta?
A la fecha, 2016 han transcurrido 101 años desde que hizo el depósito inicial.
Entonces, después de 101 años, el abuelo tiene en su cuenta un total de:
(

)

(

NOTA: para funciones de la forma ( )
Inicial. Observemos que: ( )
.

)

(

)

, laconstante c se denomina valor

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL.
La función de la forma
es una función exponencial cuya base es el llamado
número de Euler (e = 2.718281828…) Es llamada FUNCION EXPONENCIAL
NATURAL.
Para dibujar la gráfica de la función
representan los puntos.

, se forman sus tablas de valores y se

NOTA:
Ing. Sandra Patricia Jiménez G.

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La función
es unafunción exponencial importante porque aparece en la
descripción de múltiples procesos naturales, tales como el crecimiento de poblaciones
de microorganismos. La función
también es muy útil; permitir describir por
ejemplo, procesos como las desintegraciones radiactivas.
Una variante de la fórmula
de (

(

) es (

) . Si analizamos los valores

) , observamos que a medida que n crece

(

)...