Funciones exponenciales

TEMA:
Funciones exponenciales y logarítmicas.

Introduccion

Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) de manera independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo  mayor influencia, era un lord escocés, de carácter muy reservado cuyos vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente alnuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de las funciones exponenciales. Las tablas de Napier, publicadas en 1614, contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry  Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron laidea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precioalrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica. Un efecto colateral de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del sistema decimal  para los números reales.

Funcion Exponencial.-
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde "e" es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipoexponencial en base asi tiene la forma

siendo  números reales, . Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Def. Formal.-
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite dela sucesión:

Dominio.-
Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

Notacion.-
Es una manera rápida de representarun número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños.
Los números se escriben como un producto:

Numero e.-
El número e, conocido a veces como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocésJohn Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.
Está considerado elnúmero por excelencia del cálculo, así como π lo es de la geometría e i del análisis complejo.
El número e, al igual que el número π, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido directamente mediante la resolución de una ecuación algebraica. Por lo tanto, es un irracional y su valor exacto no puede ser expresado como un número finito de cifras decimales o con decimalesperiódicos.
Su valor aproximado (truncado) es
e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995…

Historia.-
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.2 No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales...