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Universidad Nacional de Trujillo Escuela Profesional Matem´ ticas a

c ⃝Copyright Lista de Problemas Propuestos Curso: Geometr´a Anal´tica No. 8 ı ı
Profesor : Luis Lara Romero. Semestre : Semestre 2010 - I 1. Identifique y dibuje los lugares geom´ tricos de los e puntos p ∈ R2 que satisfacen la ecuaci´ n o a) b) c)
x2 25 x2 9

P (2, −1) c) C(2, 0), F (5, 0), V (−3, 0) d) F (±5, 0), L : x =−20 (recta directriz) e) x = 3 ± ( 169 ) (rectas directrices), F (0, −2) 12 √ f ) V (2, 0), F (−5 + 2 6, 0), y un extremo del eje menor esta en (−5, −5). g) C(1, −1), semieje menor horizontal de lon2 gitud 6, e = 3 . h) la suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a (4, −1) y (4, 7) es i gual a 12. i) F1 (2, 3), F2 (2, −5), e =
3 5

+ +

y2 36 y2 16

=1 =1
(y+22 ) 144 2

d)25x + 16y + 100x − 96y − 156 = 0 e) 4x2 + 12y 2 − 4x + 36 − 11 = 0 f ) 8x2 + 9y 2 + 24x + 12y + 10 2. Encontrar la ecuaci´ n vectorial de la elipse o a) V´ rtices (1, 4) y (9, 4), y semieje menor e igual a 2 b) Centro (1, −4), v´ rtice en (1, 1) pasando e por (2, −1). c) Centro (2, 0), F (5, 0), V (−3, 0) d) Vertices (1, 4) y (9, 10); semieje menor = 2 e) Centro (2, 3), F = ( 26 , 27 ), V = (6, 6) 55 f ) F (−7, −10) y F (3, 14); V (4, 28 ) 5 √ g) V (2, 0), F (−5 + 2 6, 0), un extremo del eje menor esta en el punto (−5, −5) h) C(1, −1), semieje menor horizontal de longitud 6, e = 2/3 3. Encuentre la ecuaci´ n del lugar geom´ trico de o e a) Todos los puntos P (x, y) tales que la distancia de P al punto (1, 2) es dos tercios de la distancia de P a la recta y = 5 b) Todos los puntos P (x, y)tales que la suma de las distancias de P a los puntos (−3, 2) y (−3, 6) es 6 4. Hallar el centro, los v´ rtices, la excentricidad, las e directrices, los extremos del eje menor y de los lados rectos, y la ecuaci´ n de la elipse con los sio guientes datos: a) focos (1, 4) y (9, 4), b = 2 b) C(1, −4), V (1, 1) pasa por el punto 1

(x−1)2 169 2

+

=1

5. Demostrar que la recta y = mx + c estangente a la c´ nica Ax2 + y 2 = 1 si y s´ lo si las constantes o o A, m y c satisfacen la condici´ n A(c2 − 1) = m2 . o 6. Si P1 (x1 , y1 ) es un punto cualquiera de ( 2 2) ( 2 2) x /a + y /b = 1, demostrar que las longitudes de sus vectores focales son |(a + ex1 )| y |(a − ex1 )|. ( ) 7. los puntos extremos de un di´ metro de x2 /a2 + a ( 2 2) y /b = 1 son P1 y P2 . Si F es uno de los focos,demostrar que la suma de los vectores focales | F P1 | y | F P2 | es igual a la longitud del eje mayor. 8. Una elipse tiene los focos en los puntos (−7, −8) y (17, 2) y el semieje menor de longitud 5. Hallar la ecuaci´ n vectorial de la elipse, v´ rtices, centro, o e focos, excentricidad, ecuaci´ n vectorial y carteo siana de la rectas directrices. ´ 9. La orbita de la Tierra alrededor del Sol es unaelipse con el Sol como uno de los focos. Si las distancias m´nima y m´ xima (centro a centro) del ı a Sol a la Tierra son de 93 millones y 96 millones respectivamente. ¿ Cu´ l es la excentricidad de la a ´ orbita de la Tierra ? ´ 10. Un s´ telite colocado en orbita alrededor de la Tiea rra se encuentra a 119 millas sobre la superficie de la Tierra cuando est´ m´ s cercana y 881 millas a a
→ → cuando est´ mas alejada. Si el radio de la Tierra a es 4000 millas. √ Cu´ l es la excentricidad de la ¿ a ´ orbita ?. e = 20
1905 1627

≈ 0,5365.

la excentricidad es e = 4 , hallar la ecuaci´ n veco 5 torial de E y de las directrices L1 y L2 , el centro, el foco F2 y el v´ rtice V1 . e 20. Una elipse E tiene un foco en F1 (7, −2), el v´ rtie ce correspondiente al otro foco en V2 (−3, 8) ycomo una de sus directrices a la recta L : (x, y) = √ √ o (−11, 6) + t( 2, 2). Hallar la ecuaci´ n vectorial de E, la ecuaci´ n general y vectorial de la otra o directriz L, el centro, el foco F2 y el v´ rtice V1 . e 21. Si la elipse E tiene los v´ rtices en V1 (−2, −1) y e 1 V2 (6, 7), y tiene excentricidad e = 2 , hallar la ecuaci´ n vectorial de E, los focos F1 y F2 , los o extremos R1 y R2...
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