Integrales

10. LA INTEGRAL INDEFINIDA

10.1. INTRODUCCIÒN

¿Has pensado en los pequeños cambios que ocurren en el mundo?

❖ Cada pequeño instante!
❖ El minúsculo cambio de temperatura que ocurre cada segundo!
❖ El interés que genera tu dinero cada minuto!

¿Únicamente ves el producto final?

Muchos de los procesos naturales o artificiales tienen su origen en pequeños incrementospaulatinos que se acumulan...

¡Esto es Integrar!, tienes ya una idea, veamos algunos otros ejemplos

En muchos problemas se conoce razón de cambio, variación, incrementos, etc. es decir la………………… de una función, y el objeto es hallar la función misma.

Por ejemplo: Un sociólogo que conoce el ritmo al que está creciendo la población puede desear esta información para predecirniveles futuros de población; un físico que conoce la velocidad de un cuerpo que se mueve, puede desear calcular la posición futura del cuerpo, un economista que conoce el ritmo de inflación puede desear estimar los precios futuros.

[pic]

¿Cómo crees que, al conocer el ritmo de crecimiento de la inflación puedes hallar la función de precios?
………………………………………………………………………………………………………………………………………El cálculo diferencial desarrolla métodos y aplicaciones que involucran a la derivada como una función conocida. Un proceso natural en el desarrollo histórico de las matemáticas, es dar continuidad a los conocimientos que ya se disponen. Así parece razonable estudiar un proceso recíproco (inverso) al de la derivación.

10.2. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN O CÁLCULO DE PRIMITIVAS

Podemos verpor ejemplo que:

a) Para[pic], una antiderivada es [pic] pues
[pic]

¿Qué otras antiderivadas puedes mencionar para [pic]?.........................................................................................

b) [pic] es una antiderivada de………………………………………………, pues

c) Puedes determinar antiderivadas para [pic]

Verifique Ud. que:

d) [pic] es una antiderivada de[pic]…………………………………………………

e) Sea la función F definida por [pic]

Es la antiderivada de la función f definida por [pic] pues [pic] también las siguientes funciones son antiderivadas de la función f:

[pic], [pic] etc., [pic] donde c es una constante real. Luego podemos decir que una función tiene una infinidad de antiderivadas.

En general si [pic] y [pic]son antiderivadas de[pic], entonces existe una constante [pic], tal que [pic].

Encontrar las antiderivadas de las siguientes funciones:

1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]

4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]

10.3. LA INTEGRAL INDEFINIDA

Si [pic], la antiderivada más general de [pic]se representa mediante la notación:

A lo anterior se ledenomina “la integral indefinida de[pic]” y el proceso que se sigue para obtener la antiderivada de [pic]se le conoce como “el proceso de integración”.

Por ejemplo, si [pic], vemos que su antiderivada tendrá la forma de[pic].

[pic]

Con esta notación entonces tenemos en nuestros ejemplos.

[pic]

y

[pic]

donde C y K son constantes arbitrarias.

1. Propiedades eintegrales inmediatas

2. Ejercicios resueltos

Ejemplos

1. [pic], pues [pic] entonces [pic]
2. [pic], pues [pic]
3. [pic], pues [pic]
Ejemplos

a) [pic]

b) [pic]

Ejemplos
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]

3. Otras fórmulas utilizadas

1. EJEMPLOS.
a) [pic]
b)[pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
f) [pic]
g) [pic]
h) [pic]
4. Ejercicios propuestos

Luego de examinar cada una de las fórmulas y ejercicios desarrollados, te proponemos los siguientes ejercicios.

1) Determinar las siguientes antiderivadas o integrales.

a) [pic] e) [pic]
b) [pic] f) [pic]
c) [pic] g) [pic]
d) [pic] h)...