Interpolaciones E Integracion Numerica

Cap´ıtulo 5

M´
etodos de Interpolaci´
on
5.1.

Interpolaci´
on Lineal

Dados dos puntos (xk , yk ) y (xk+1 , yk+1 ), si se desea encontrar un valor de y para una x dada dentro de un
intervalo, se utiliza la siguiente ecuaci´
on (por tri´
angulos semejantes)

(xk+1 , yk+1 )
(x, y)

(xk , yk )

Figura 5.1: Interpolaci´
on lineal.
yk+1 − yk
y − yk
=
x − xk
xk+1 − xk

(5.1)

yk+1 − yk
xk+1 − xk(5.2)

y despejando para y, tenemos
y = yk +

5.2.

(x − xk )

´
Polinomio de Interpolaci´
on Unico

Suponer que se tienen (n + 1) pares de datos (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), . . ., (xn , yn ) representando (n + 1) puntos de
la gr´
afica de una funci´
on y = f (x), cuya forma expl´ıcita no se conoce. Las xi , i = 0, . . . , n se asumen con
valores distintos, es decir, la funci´
on es continua.
El polinomioque se va a encontrar debe satisfacer las siguientes restricciones:
Pn (xi ) = yi ,
77

i = 0, . . . , n

(5.3)

c 1997–2006. Dr. Horacio Mart´ınez Alfaro

M´
etodos Num´
ericos

asumiendo un polinomio Pn (x) de la forma
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn

(5.4)

Al tener que cumplir con las restricciones (5.3), se generan (n + 1) ecuaciones en (n + 1) inc´
ognitas; siendo
´estas loscoeficientes ai ’s:
a0 + a1 x0 + a2 x20 + a3 x30 + · · · + an xn0
a0 + a1 x1 + a2 x21 + a3 x31 + · · · + an xn1
a0 + a1 x2 + a2 x22 + a3 x32 + · · · + an xn2
..
.

a0 + a1 xn + a2 x2n + a3 x3n + · · · + an xnn
y en forma matricial:

⎡
1
⎢1
⎢
⎢1
⎢
⎢
⎣
1

x0
x1
x2
xn

x20 · · · xn0
x21 · · · xn1
x22 · · · xn2
..
.

⎤⎡
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢
⎦⎣

x2n · · · xnn

a0
a1
a2
..
.

⎤

⎡

⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥=⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣

an

=
==

y0
y1
y2
..
.

=
=
y0
y1
y2
..
.

(5.5)

yn
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

(5.6)

yn

Resolviendo el sistema encontramos los valores del vector a = [a0 a1 a2 · · · an ]T .
Ejemplo 5.1
Encontrar el polinomio de interpolaci´
on u
´ nico para los valores:
(10, 0.1763), (20, 0.3640) y (30, 0.5774)
e interpolar el valor x = 21.
Soluci´
on

⎡

1 10
⎣1 20
1 30

P2 (x) = a0 + a1 x + a2 x2
⎤ ⎡
⎤⎡
⎤
⎡
⎤
100
0.1763
a00.0143
400 ⎦ ⎣ a1 ⎦ = ⎣ 0.364 ⎦ ⇒ a = ⎣ 0.014915 ⎦
a2
900
0.5774
0.0001285
P2 (x) = 0.0143 + 0.014915x + 0.0001285x2

y evaluando para x = 21: P (21) = 0.3841835 . La figura 5.2 muestra los datos y la funci´
on de interpolaci´
on.

5.3.

Polinomio de Interpolaci´
on de Lagrange

Las condiciones que se tienen son las mismas que para el polinomio u
´ nico; sin embargo, la forma del polinomio
cambia:(5.7)
Pn (x) = y0 b0 (x) + y1 b1 (x) + y2 b2 (x) + · · · + yn bn (x)
donde bk (x) es un polinomio de grado n. El polinomio Pn (x) cumple con las siguientes restricciones:
Pn (xi ) = yi ,
78

i = 0, . . . , n

(5.8)

c 1997–2006. Dr. Horacio Mart´ınez Alfaro

M´
etodos Num´
ericos

0.5

0.4

0.3

0.2
10

15

20

25

30

Figura 5.2: Datos de interpolaci´
on y funci´
on P2 (x) de interpolaci´
on
Sidesarrollamos el polinomio Pn (xi ), tenemos:
y0 b0 (xi ) + y1 b1 (xi ) + y2 b2 (xi ) + · · · + yn bn (xi ) = yi ,

i = 0, . . . , n

(5.9)

generando (n + 1) ecuaciones:
y0 b0 (x0 ) + y1 b1 (x0 ) + y2 b2 (x0 ) + · · · + yn bn (x0 )
y0 b0 (x1 ) + y1 b1 (x1 ) + y2 b2 (x1 ) + · · · + yn bn (x1 )
..
.

=
=

y0 b0 (xn ) + y1 b1 (xn ) + y2 b2 (xn ) + · · · + yn bn (xn ) =

y0
y1
..
.

(5.10)

ynExaminando las ecuaciones, se observa que si los bk (x) se definen como
bk (xj ) = δkj =

1, k = j
,
0, k = j

(5.11)

las ecuaciones se logran satisfacer.
Ya que cada bk (x) es un polinomio de grado n que tiene distintas ra´ıces en x0 , x1 , x2 , . . ., xk−1 , xk+1 , . . .,
xn , ´este se puede expresar de la siguiente forma:
bk (x) = Kk (x − x0 )(x − x1 ) · · · (x − xk−1 )(x − xk+1 ) · · · (x − xn )(5.12)

y las constantes Kk se pueden determinar evaluando bk (x) en x = xk ; ´esto es:
bk (xk ) = Kk (xk − x0 )(xk − x1 ) · · · (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) · · · (xk − xn )

(5.13)

Como sabemos que bk (xk ) = 1 de la ecuaci´on 5.11, esto nos lleva a despejar Kk :
Kk =

1
(xk − x0 )(xk − x1 ) · · · (xk − xk−1 )(xk − xk+1 ) · · · (xk − xn )

(5.14)

y sustituyendo en la definici´
on de los bk (x)...