Introducción a las funciones de variable compleja

Introducción a las funciones de variable compleja
2.1 Sucesiones numéricas en
Definición 2.1   La aplicación o función que hace corresponder a cada número natural un elemento de cierto conjunto se denomina sucesión de elementos de y la denotaremos por , o .
Por ejemplo, si , diremos que define una sucesión de números complejos.
Como ejemplo tenemos

Por ejemplo, las sucesiones ydefinidas antes son claramente acotadas (basta escoger ).

Por ejemplo, la sucesión no está acotada.
2.2 Convergencia en
Definiremos la distancia entre dos números complejos y como
| (2.1) |

Definiremos el -entorno o -vecindad de un número complejo a la ``bola'' definida por

Obviamente es un círculo del plano complejo de centro y radio excluyendo la frontera (o sea, la correspondientecircunferencia).
Sea , . Puesto que

podemos construir la teoría de límites en de la misma forma que se hace en . Así pues, tenemos la siguiente definición:

El significado geométrico del límite es claro: dentro de -entorno del límite de la sucesión hay infinitos términos de la sucesión (de hecho todos a partir de cierto ) y fuera de él sólo hay un número finito de términos (a lo sumo losprimeros términos) de la misma.
Si escribimos y , entonces, de las desigualdades

se deduce que

En particular, si y sólo si .
De lo anterior se deduce que toda sucesión de números complejos es equivalente a dos sucesiones de números reales (la de sus partes reales e imaginarias). Así pues, por analogía con el caso real podemos definir las sucesiones de Cauchy, enunciar y probar elcriterio de Cauchy y muchas otras propiedades de las las sucesiones. No obstante al ser un cuerpo no ordenado, se pierden todas las propiedades relacionadas con el orden (supremo, monotonía, etc). Gracias a la teoría de límites de sucesiones podemos definir el límite de funciones, continuidad de funciones, derivabilidad de funciones, etc.

La prueba se basa nuevamente en la equivalencia entre y lassucesiones reales y .
Además, está claro que si tiene límite, entonces es acotada, pero no al contrario.

Evidentemente todo entorno de es un abierto.

Por ejemplo, 0 es un punto de acumulación del conjunto , mientras que , cualquiera sea no lo es.

Por ejemplo en conjunto es un cerrado.

A partir de Lema del Bolzano-Weierstrass para los conjuntos acotados de se sigue el siguienteresultado:
Lema 2.2 (Bolzano-Weierstrass)   Cualquier subconjunto infinito2 acotado de tiene por lo menos un punto de acumulación.
Definamos en una curva mediante las ecuación paramétrica , . Si e son funciones continuas en el parámetro , se dice que la curva es continua.

2.3 El complejo
Sea una sucesión real. Se dice que si para todo , existe un , tal que para todos , . De manera análoga sedefine . Además está claro que al ser un cuerpo ordenado sólo existen dos ``infinitos": uno por la izquierda y otro por la derecha .
En el caso complejo la situación es algo más complicada. Sea una sucesión tal que, para todo , existe un , tal que para todos , . Evidentemente dicha sucesión no puede ser convergente (no es acotada). Por analogía con el caso real diremos que la sucesión anteriorconverge a infinito.

Para que este tenga sentido hay que además imponerle ciertas reglas (de fácil interpretación mediante sucesiones):
1. , ,
2. , ,
3. ,
4. ,
5. , .
Este infinito complejo es, por su naturaleza, muy distinto al real y requiere una explicación más detallada. La forma más sencilla de entenderlo se basa en una construcción conocida como la esfera deRiemann y la proyección estereográfica que describiremos brevemente a continuación.
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Figura 1: La esfera de Riemann. |
Hagamos la siguiente construcción (ver figura 1). En el origen 0 de coordenadas del plano complejo construyamos una esfera de radio 1/2 tangente a 0. A continuación trazamos una recta que une el punto con el punto de la esfera (comúnmente denominado polo norte). Obviamente...