La meta

Bioestadística: Inferencia Estadística. Relación Entre Variables
M. González
Departamento de Matemáticas. Universidad de Extremadura

M. González

Bioestadística: Inferencia Estadística. Relación Entre Variables

Relación Entre Variables
1. A fin de estudiar la evolución del ángulo de Clarke (en grados) con la edad del niño (sano) se obtuvieron ambos datos en un grupo de 16 niños (entre3 y 10 años) elegidos al azar: Edad (X) 3 3 Ángulo (Y) 24 22 Edad (X) Ángulo (Y) 4 28 8 36 4 25 8 39 5 32 9 39 5 31 9 41 6 33 10 46 6 30 10 44 7 34 7 34

Suponiendo que se dan las hipótesis de normalidad e igualdad de varianzas adecuadas, contesta las siguientes preguntas: (a) ¿Existe relación entre la edad y el ángulo de Clarke?. Si existe, ¿cómo podemos medir el grado de la relación? REGRESIÓNLINEAL Y CORRELACIÓN. RESUMEN XIX MODELO: Y = α + βX + ε, ε sigue distribución N(0,σ 2 ) H0 : β = 0 vs. H1 : β = 0

M. González

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Relación Entre Variables
1.

q

45

q

q

40

q

q

Y=Angulo de Clark

q

35

q q q q

30

q q

25

q q q

3

4

5

6

7

8

9

10

X=Edad
M.González Bioestadística: Inferencia Estadística. Relación Entre Variables

Relación Entre Variables
1. n = 16
i xi

= 104,

2 i xi

= 760,

i yi

= 538,

2 i yi

= 18826,

i xi yi

= 3739

Sxx = i (xi − ¯)2 = i xi2 − ( i xi )2 /n = 760 − 1042 /16 = 84 x Syy = 18826 − 5382 /16 = 735.75 Sxy = i xi yi − ( i xi )( i yi )/n = 3739 − 104 × 538/16 = 242 ¯ = 6.5, ¯ = 33.625 x y Sxy 242b= = = 2.88, a = 33.625 − 2.88 × 6.5 = 14.9 Sxx 84 y = 14.9 + 2.88x s2 = 1 1 (Syy − bSxy ) = (735.75 − 2.88 × 242) = 2.754 n−2 14

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Relación Entre Variables
1. (a) ¿Existe relación entre la edad y el ángulo de Clarke?. Si existe, ¿cómo podemos medir el grado de la relación? REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN. RESUMENXIX MODELO: Y = α + βX + ε, ε sigue distribución N(0,σ 2 ) H0 : β = 0 vs. H1 : β = 0 texp = |b| √ = s/ Sxx 2.88 2.754/84 = 15.91

Se rechaza H0 al nivel de significación α si texp > tα (n − 2) α = 0.001 t0.001 (14) = 4.14 texp > t0.001 (14) p < 0.001 H1

r=

Sxy 242 =√ = 0.973, Sxx Syy 84 × 735.75
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y = 14.9 + 2.88x

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Relación Entre Variables
1. (a)

q

45

q

q

40

q

q

Y=Angulo de Clark

q

35

q q q q

30

q q

25

q q q

3

4

5

6

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8

9

10

X=Edad
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Relación Entre Variables

1. (b) ¿Qué porcentaje de la variabilidad del ángulo queda explicada por la relación quemantiene con la variable edad? r2 = 0.948 (c) ¿Cuánto varía el ángulo por cada año que pasa de edad? b = 2.88 Intervalo de confianza para β al nivel 1 − α: β ∈ b ± tα (n − 2) 1 − α = 0.95 β ∈ 2.88 ± t0.05 (14) s Sxx

2.754 = 2.88 ± 0.39 = [2.49, 3.27] CON UNA 84 CONFIANZA DEL 95%

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Relación Entre Variables
1.(d) ¿Qué valor del ángulo tendría un niño con 12 años? ¿Y uno de 5 años? PARA 12 NO SE PUEDE CALCULAR. x0 = 5 ˆ0 = 14.9 + 2.88 × 5 = 29.3 y Intervalo de confianza para una predicción al nivel 1 − α: (x − ¯)2 x y0 ∈ a + bx0 ± tα (n − 2)s 1 + 1 + 0 S n xx 1 − α = 0.95 1 (5 − 6.5)2 + 16 84 [25.6, 33.0] CON UNA CONFIANZA DEL 95% y0 ∈ 29.3 ± t0.05 (14) 2.754 × 1 + = 29.3 ± 3.7 =

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Relación Entre Variables
1. (d)

q

45

q

q

40

q

q

Y=Angulo de Clark

q

35

q q q q

30

q q

25

q q q

3

4

5

6

7

8

9

10

X=Edad
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Relación Entre Variables
1. (e) ¿Qué podemos decir si no...